Seja T o sólido interior à esfera x^2+y^2+z^2=4 acima do plano z=1 e considere a integral I=integral triplaT raizx^2+y^2 d V. Forneça uma expressão para I em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala de um sólido que está dentro da esfera definida por e que fica acima do plano . A gente precisa calcular a integral tripla e expressá-la em coordenadas esféricas.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Coordenadas esféricas: uma forma de representar pontos no espaço usando raio, ângulo polar e ângulo azimutal.
  • Limites de integração: determinar os valores que cada coordenada esférica pode assumir dentro do sólido .
  • Mudança de variável: como transformar a integral de coordenadas cartesianas para esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi , onde:
  • é a distância do ponto à origem.
  • é o ângulo polar, medindo de cima para baixo a partir do eixo .
  • é o ângulo azimutal, medindo no plano .
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos transformar a função que está dentro da integral, raizx^2 + y^2 = raiz(r sinphi costheta)^2 + (r sinphi sintheta)^2 = r sinphi , para coordenadas esféricas. Substituindo:
Então, a função dentro da integral em coordenadas esféricas fica .

Passo 4

Precisamos também considerar o elemento de volume dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta em coordenadas esféricas, que é dado por:
Agora, vamos entender os limites de integração.

Passo 5

O sólido r cosphi >= 1 Rightarrow cosphi >= 1r está dentro da esfera (já que ) e acima do plano . Em coordenadas esféricas, , então a condição se torna:
Como varia de 0 a 2, mas só faz sentido para (pois ), então nossos limites são:
  • vai de 1 a 2.
  • Para cada , vai de 0 a .
  • varia de 0 a .

Resposta

A expressão para I = integral0^2pi integral1^2 integral0^arccos( 1r ) ( r sinphi ) ( r^2 sinphi ) , dphi , dr , dtheta em coordenadas esféricas fica:
I = integral0^2pi integral1^2 integral0^arccos( 1r ) r^3 sin^2phi , dphi , dr , dtheta
Ou simplificando:

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