Seja o sólido interior à esfera acima do plano considere a integral . Forneça uma expressão para em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala de um sólido que está dentro da esfera definida por e que fica acima do plano . A gente precisa calcular a integral tripla e expressá-la em coordenadas esféricas.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Coordenadas esféricas: uma forma de representar pontos no espaço usando raio, ângulo polar e ângulo azimutal.
  • Limites de integração: determinar os valores que cada coordenada esférica pode assumir dentro do sólido .
  • Mudança de variável: como transformar a integral de coordenadas cartesianas para esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto à origem.
  • é o ângulo polar, medindo de cima para baixo a partir do eixo .
  • é o ângulo azimutal, medindo no plano .
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos transformar a função que está dentro da integral, , para coordenadas esféricas. Substituindo:
Então, a função dentro da integral em coordenadas esféricas fica .

Passo 4

Precisamos também considerar o elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
Agora, vamos entender os limites de integração.

Passo 5

O sólido está dentro da esfera (já que ) e acima do plano . Em coordenadas esféricas, , então a condição se torna:
Como varia de 0 a 2, mas só faz sentido para (pois ), então nossos limites são:
  • vai de 1 a 2.
  • Para cada , vai de 0 a .
  • varia de 0 a .

Resposta

A expressão para em coordenadas esféricas fica:
Ou simplificando:

Exercícios relacionados

Seja o sólido interior à esfera acima do plano considere a integral . Calcule usando em coordenadas cilíndricas.
Seja a região limitada pelas curvas e . Escreva uma integral que representa a integral após aplicar a mudança para coordenadas polares. Calcule .
Seja a região delimitada pelas circunferências e . Calcule a área de .
Calcule o volume do sólido limitado inferiormente pelo cone , de equação , e superiormente pela esfera , de equação .