Resolva as equações diferenciais:

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . Vamos resolver isso usando o método do fator integrante, que faz parte das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para isso, vamos precisar identificar os termos da equação e aplicar algumas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares: . Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é achar o fator integrante . Ele é dado por . Então, vamos calcular:

Passo 4

Agora, a gente multiplica toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Percebemos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral de pode ser resolvida por partes:
E a integral de é simplesmente :
Então, combinando tudo:

Passo 7

Para achar , dividimos tudo por :

Resposta

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