Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função
e inferiormente pelo retângulo dado:
e
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está por baixo do gráfico da função
e por cima do retângulo
. Para isso, vamos usar integrais duplas, que servem exatamente para encontrar volumes assim em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume
pode ser encontrado integrando a função
sobre a região
. Isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Nossa região
vai de
a
e de
a
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em relação a
primeiro. Como
não depende de
, a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos isso na integral externa:
Passo 6
Para resolver
, reconhecemos que é uma integral padrão que resulta em:
Passo 7
Aplicando os limites de
a
:
Para
:
Para
:
Então, a integral resulta em:
Passo 8
Multiplicando pelo 4 que tínhamos na frente:
Resposta
O volume do sólido é dado por:
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e inferiormente pelo retângulo dado:
e
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e
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e
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