Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = raiz(9 - y^2) e R = [0,4] x [0,2]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está por baixo do gráfico da função e por cima do retângulo . Para isso, vamos usar integrais duplas, que servem exatamente para encontrar volumes assim em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume pode ser encontrado integrando a função sobre a região . Isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Nossa região vai de a e de a . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a primeiro. Como não depende de , a integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa:

Passo 6

Para resolver , reconhecemos que é uma integral padrão que resulta em:

Passo 7

Aplicando os limites de a :
Para :
Para :
Então, a integral resulta em:

Passo 8

Multiplicando pelo 4 que tínhamos na frente:

Resposta

O volume do sólido é dado por:

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