Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite de uma expressão que envolve logaritmos à medida que se aproxima do infinito. O conteúdo que vamos usar aqui inclui propriedades dos logaritmos e conceitos básicos de limites. Para resolver isso, vamos precisar saber como manipular logaritmos e entender o comportamento das funções logarítmicas quando cresce muito.

Passo 2

A expressão que temos é:
Primeiro, vamos simplificar a diferença de logaritmos usando uma propriedade importante dos logaritmos: . Aplicando isso, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a fração dentro do logaritmo:
Podemos dividir todos os termos do numerador e do denominador por :
Quando tende ao infinito, e tendem a 0. Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, sabemos que:
E sabemos que , porque qualquer logaritmo de 1 é zero.

Passo 5

Voltando à expressão original, temos o negativo desse limite:

Resposta

O valor do limite é .

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Demonstre o Teorema da Comparação dado em sala de aula: Sejam e funções tais que para , para algum . Se e existem, então
Demonstre o Corolário do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha que 0 e que existam e satisfazendo para . Então . [Sugestão: Use o Teorema do Confronto e o Exercício 3.]
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por para e em torno do eixo .
Calcule a integral imprópria .