-lim x infty[ln (3+x)-ln (2+x)]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite de uma expressão que envolve logaritmos à medida que se aproxima do infinito. O conteúdo que vamos usar aqui inclui propriedades dos logaritmos e conceitos básicos de limites. Para resolver isso, vamos precisar saber como manipular logaritmos e entender o comportamento das funções logarítmicas quando cresce muito.

Passo 2

A expressão que temos é:
-limx to infty [ln(3 + x) - ln(2 + x)]
Primeiro, vamos simplificar a diferença de logaritmos usando uma propriedade importante dos logaritmos: -limx to infty ln(3 + x2 + x) . Aplicando isso, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a fração dentro do logaritmo:
3 + x2 + x
Podemos dividir todos os termos do numerador e do denominador por 3/x + 12/x + 1 :
0 + 10 + 1 = 1
Quando tende ao infinito, e tendem a 0. Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, sabemos que:
limx to infty ln(3 + x2 + x) = ln(1)
E sabemos que , porque qualquer logaritmo de 1 é zero.

Passo 5

Voltando à expressão original, temos o negativo desse limite:
-0 = 0

Resposta

O valor do limite é .

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