Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite de uma expressão que envolve logaritmos à medida que
se aproxima do infinito. O conteúdo que vamos usar aqui inclui propriedades dos logaritmos e conceitos básicos de limites. Para resolver isso, vamos precisar saber como manipular logaritmos e entender o comportamento das funções logarítmicas quando
cresce muito.
Passo 2
A expressão que temos é:
Primeiro, vamos simplificar a diferença de logaritmos usando uma propriedade importante dos logaritmos:
. Aplicando isso, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a fração dentro do logaritmo:
Podemos dividir todos os termos do numerador e do denominador por
:
Quando
tende ao infinito,
e
tendem a 0. Então, a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, sabemos que:
E sabemos que
, porque qualquer logaritmo de 1 é zero.
Passo 5
Voltando à expressão original, temos o negativo desse limite:
Resposta
O valor do limite é
.
Exercícios relacionados
Demonstre o Teorema da Comparação dado em sala de aula: Sejam
e
funções tais que
para
, para algum
. Se
e
existem, então
Demonstre o Corolário do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha que
0 e que existam
e
satisfazendo
para
. Então
. [Sugestão: Use o Teorema do Confronto e o Exercício 3.]
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por
para
e
em torno do eixo
.
Calcule a integral imprópria
.