Demonstre o Teorema da Comparação dado em sala de aula: Sejam f e g funções tais que f(x) <= g(x) para 0<|x-x0|, para algum r>0. Se lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x) existem, então lim x x0 f(x) <= lim x x0 g(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar o Teorema da Comparação. Esse teorema está na área de cálculo, mais especificamente no estudo de limites. Basicamente, ele diz que se duas funções e estão ordenadas (ou seja, ) perto de um ponto , e os limites dessas funções quando se aproxima de existem, então o limite de também será menor ou igual ao limite de . Para resolver isso, vamos usar as definições de limite e lógica matemática para chegar à demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que, para todo número pequeno , existe um raio tal que, se , então .

Passo 3

Da mesma forma, temos que significa que, para todo , existe um tal que, se , então .

Passo 4

Agora, sabemos que para . Vamos escolher como o menor entre , e para garantir que todas as condições sejam satisfeitas simultaneamente. Ou seja, .

Passo 5

Dentro desse intervalo , temos que . Isso implica que está sempre abaixo ou igual a nesse intervalo. Como os limites de e existem, podemos relacionar esses limites usando essa desigualdade.

Passo 6

Tomando o limite em ambos os lados da desigualdade limx to x0 f(x) <= limx to x0 g(x) , obtemos:
Isso é válido porque, ao aplicar os limites, a ordem da desigualdade é preservada quando os limites existem.

Resposta

Portanto, demonstramos que conforme o Teorema da Comparação.

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