Demonstre o Teorema da Comparação dado em sala de aula: Sejam
e
funções tais que
para
, para algum
. Se
e
existem, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar o Teorema da Comparação. Esse teorema está na área de cálculo, mais especificamente no estudo de limites. Basicamente, ele diz que se duas funções
e
estão ordenadas (ou seja,
) perto de um ponto
, e os limites dessas funções quando
se aproxima de
existem, então o limite de
também será menor ou igual ao limite de
. Para resolver isso, vamos usar as definições de limite e lógica matemática para chegar à demonstração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que, para todo número pequeno
, existe um raio
tal que, se
, então
.
Passo 3
Da mesma forma, temos que
significa que, para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 4
Agora, sabemos que
para
. Vamos escolher
como o menor entre
,
e
para garantir que todas as condições sejam satisfeitas simultaneamente. Ou seja,
.
Passo 5
Dentro desse intervalo
, temos que
. Isso implica que
está sempre abaixo ou igual a
nesse intervalo. Como os limites de
e
existem, podemos relacionar esses limites usando essa desigualdade.
Passo 6
Tomando o limite em ambos os lados da desigualdade
, obtemos:
Isso é válido porque, ao aplicar os limites, a ordem da desigualdade é preservada quando os limites existem.
Resposta
Portanto, demonstramos que
conforme o Teorema da Comparação.