Demonstre o Teorema da Comparação dado em sala de aula: Sejam e funções tais que para , para algum . Se e existem, então

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar o Teorema da Comparação. Esse teorema está na área de cálculo, mais especificamente no estudo de limites. Basicamente, ele diz que se duas funções e estão ordenadas (ou seja, ) perto de um ponto , e os limites dessas funções quando se aproxima de existem, então o limite de também será menor ou igual ao limite de . Para resolver isso, vamos usar as definições de limite e lógica matemática para chegar à demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que, para todo número pequeno , existe um raio tal que, se , então .

Passo 3

Da mesma forma, temos que significa que, para todo , existe um tal que, se , então .

Passo 4

Agora, sabemos que para . Vamos escolher como o menor entre , e para garantir que todas as condições sejam satisfeitas simultaneamente. Ou seja, .

Passo 5

Dentro desse intervalo , temos que . Isso implica que está sempre abaixo ou igual a nesse intervalo. Como os limites de e existem, podemos relacionar esses limites usando essa desigualdade.

Passo 6

Tomando o limite em ambos os lados da desigualdade , obtemos:
Isso é válido porque, ao aplicar os limites, a ordem da desigualdade é preservada quando os limites existem.

Resposta

Portanto, demonstramos que conforme o Teorema da Comparação.

Exercícios relacionados

Demonstre o Corolário do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha que 0 e que existam e satisfazendo para . Então . [Sugestão: Use o Teorema do Confronto e o Exercício 3.]
Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. (o) onde é a função do item (n).
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por para e em torno do eixo .