Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por em torno de .

Passo 1

Fala! Então, temos que calcular o volume do sólido que surge ao girar a região delimitada por , , e em torno da reta . Vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método das camadas cilíndricas ou cilindros. Precisaremos entender como configurar a integral para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. A função é uma parábola invertida que toca o eixo x nos pontos e . Estamos girando essa região ao redor da reta , que está abaixo do eixo x. Para calcular o volume desse sólido de rotação, usaremos o método das camadas cilíndricas.

Passo 3

No método das camadas cilíndricas, consideramos uma fatia vertical da região, que vai de a . Para cada valor de x, a altura da camada é . Como estamos girando em torno de , a distância do elemento de área à reta de rotação é .

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método das camadas cilíndricas é:
Onde:
  • é a distância da camada à reta ,
  • A altura da camada é 1 (já que a região vai de a ),
  • Os limites de integração são de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
Sabemos que a função integrada de a resulta em , mas aqui os limites são de a . Portanto, usaremos aproximações ou tabelas de integrais para resolver.

Passo 7

Usando a simetria da função (paridade par), podemos simplificar:

Passo 8

As integrais são conhecidas como integrais de erro e não têm antiderivadas elementares. Então, podemos expressá-las em termos da função erro ( ):
Aplicando para e :

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido obtido é aproximadamente ú.

Exercícios relacionados

Usar (a) para calcular
Calcule a derivada das seguintes funções:
(g)
(2 pontos) Calcule a área da regiâo limitada pelas parábolas e .
(2 pontos) O ponto é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados e , escreva as equações paramétricas dessa elipse.