Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por
em torno de
.
Passo 1
Fala! Então, temos que calcular o volume do sólido que surge ao girar a região delimitada por
,
,
e
em torno da reta
. Vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método das camadas cilíndricas ou cilindros. Precisaremos entender como configurar a integral para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. A função
é uma parábola invertida que toca o eixo x nos pontos
e
. Estamos girando essa região ao redor da reta
, que está abaixo do eixo x. Para calcular o volume desse sólido de rotação, usaremos o método das camadas cilíndricas.
Passo 3
No método das camadas cilíndricas, consideramos uma fatia vertical da região, que vai de
a
. Para cada valor de x, a altura da camada é
. Como estamos girando em torno de
, a distância do elemento de área à reta de rotação é
.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método das camadas cilíndricas é:
Onde:
-
é a distância da camada à reta , - A altura da camada é 1 (já que a região vai de
a ), - Os limites de integração são de
a .
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Agora, calculamos a integral:
Sabemos que a função
integrada de
a
resulta em
, mas aqui os limites são de
a
. Portanto, usaremos aproximações ou tabelas de integrais para resolver.
Passo 7
Usando a simetria da função (paridade par), podemos simplificar:
Passo 8
As integrais
são conhecidas como integrais de erro e não têm antiderivadas elementares. Então, podemos expressá-las em termos da função erro (
):
Aplicando para
e
:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido obtido é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Usar (a) para calcular
Calcule a derivada das seguintes funções:
(g)
(g)
(2 pontos) Calcule a área da regiâo limitada pelas parábolas
e
.
(2 pontos) O ponto
é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados
e
, escreva as equações paramétricas dessa elipse.