(2 pontos) O ponto é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados e , escreva as equações paramétricas dessa elipse.

Passo 1

Neste exercício, temos o ponto que é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos e . Vamos precisar usar as propriedades das elipses e suas equações paramétricas para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com centro em e eixos paralelos aos eixos coordenados é:
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor da elipse.

Passo 3

Como a elipse é tangente aos eixos coordenados, significa que a distância do centro da elipse aos eixos e é exatamente igual aos semi-eixos.
  • A distância vertical do centro ao eixo é . Isso corresponde ao semi-eixo menor , então .
  • A distância horizontal do centro ao eixo é . Isso corresponde ao semi-eixo maior , então .

Passo 4

Agora que temos os valores de e , podemos escrever as equações paramétricas da elipse. As equações paramétricas de uma elipse são dadas por:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

As equações paramétricas da elipse são:

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(2 pontos) Calcule a área da regiâo limitada pelas parábolas e .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por em torno de .
Resolva a equação diferencial com condição inicial: .
Derive as funções