(2 pontos) Calcule a área da regiâo limitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
Então, vamos calcular a área da região que fica entre as parábolas
e
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a área entre curvas. Precisamos encontrar os pontos onde as duas parábolas se intersectam e depois integrar a diferença entre as funções dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas. Isso acontece quando
é igual a
. Então, vamos igualar as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Portanto, as parábolas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 4
Com os limites de integração encontrados (
e
), vamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Observando as equações:
Para
entre -2 e 2,
está acima de
. Assim, a diferença das funções será
.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral para calcular a área:
Passo 6
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de -2 a 2:
Passo 8
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas parábolas
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por
em torno de
.
Usar (a) para calcular
(2 pontos) O ponto
é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados
e
, escreva as equações paramétricas dessa elipse.
Resolva a equação diferencial com condição inicial:
.