(2 pontos) Calcule a área da regiâo limitada pelas parábolas e .

Passo 1

Então, vamos calcular a área da região que fica entre as parábolas e . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a área entre curvas. Precisamos encontrar os pontos onde as duas parábolas se intersectam e depois integrar a diferença entre as funções dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas. Isso acontece quando é igual a . Então, vamos igualar as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Portanto, as parábolas se interceptam nos pontos e .

Passo 4

Com os limites de integração encontrados ( e ), vamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Observando as equações:
Para entre -2 e 2, está acima de . Assim, a diferença das funções será .

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral para calcular a área:
Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de -2 a 2:

Passo 8

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região limitada pelas parábolas e é unidades quadradas.

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(2 pontos) O ponto é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados e , escreva as equações paramétricas dessa elipse.
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