Seja R a região do plano limitado pelas curvas y = -x^2 - 3x + 6 e x + y - 3 = 0.
Esboce R e calcule a sua área.

Passo 1

Beleza, então a gente tem duas curvas: a parábola e a reta . A parada aqui é encontrar a região que fica entre essas duas curvas, desenhar esse lugar no gráfico e, depois, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar descobrir onde essas curvas se encontram, entender qual delas está por cima ou por baixo em cada intervalo, e finalmente, integrar a diferença entre elas para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Isso quer dizer que vamos resolver o sistema de equações formado por e (obtido rearranjando a equação da reta).
Igualando as duas expressões para :
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se encontram.

Passo 3

Resolvendo a equação:
Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá dois valores de :

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, e , vamos encontrar as coordenadas correspondentes usando a equação da reta :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, vamos esboçar as curvas para entender qual delas está por cima no intervalo .
Para isso, podemos escolher um valor de dentro do intervalo, digamos :
á
Então, quando , a parábola está acima da reta. Isso indica que, no intervalo , a parábola está por cima da reta.

Passo 6

Para encontrar a área da região entre as curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções, de a :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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