Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
Esboce e calcule a sua área.
Passo 1
Beleza, então a gente tem duas curvas: a parábola e a reta . A parada aqui é encontrar a região que fica entre essas duas curvas, desenhar esse lugar no gráfico e, depois, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar descobrir onde essas curvas se encontram, entender qual delas está por cima ou por baixo em cada intervalo, e finalmente, integrar a diferença entre elas para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Isso quer dizer que vamos resolver o sistema de equações formado por e (obtido rearranjando a equação da reta).
Igualando as duas expressões para :
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se encontram.
Passo 3
Resolvendo a equação:
Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá dois valores de :
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, e , vamos encontrar as coordenadas correspondentes usando a equação da reta :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 5
Agora, vamos esboçar as curvas para entender qual delas está por cima no intervalo .
Para isso, podemos escolher um valor de dentro do intervalo, digamos :
Então, quando , a parábola está acima da reta. Isso indica que, no intervalo , a parábola está por cima da reta.
Passo 6
Para encontrar a área da região entre as curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções, de a :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.4) e , ao redor da reta
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.2) Eixo menor.
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
18.
Determinar o domínio das seguintes funções:
(a)