Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
Esboce
e calcule a sua área.
Esboce
Passo 1
Beleza, então a gente tem duas curvas: a parábola
e a reta
. A parada aqui é encontrar a região que fica entre essas duas curvas, desenhar esse lugar no gráfico e, depois, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar descobrir onde essas curvas se encontram, entender qual delas está por cima ou por baixo em cada intervalo, e finalmente, integrar a diferença entre elas para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Isso quer dizer que vamos resolver o sistema de equações formado por
e
(obtido rearranjando a equação da reta).
Igualando as duas expressões para
:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se encontram.
Passo 3
Resolvendo a equação:
Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá dois valores de
:
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção,
e
, vamos encontrar as coordenadas
correspondentes usando a equação da reta
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar as curvas para entender qual delas está por cima no intervalo
.
Para isso, podemos escolher um valor de
dentro do intervalo, digamos
:
Então, quando
, a parábola está acima da reta. Isso indica que, no intervalo
, a parábola está por cima da reta.
Passo 6
Para encontrar a área da região
entre as curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções, de
a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região
limitada pelas curvas é
unidades de área.