Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.1) Eixo maior
(11.2) Eixo menor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que resulta ao girar a região limitada pela elipse em torno do eixo maior e do eixo menor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente os métodos de discos e cascas cilíndricas. Vamos lá!

Passo 2

Parte (11.1): Rotação em torno do eixo maior (eixo y)
Primeiro, vamos identificar o eixo maior da elipse. A equação pode ser reescrita como . Isso mostra que o semi-eixo maior é 3 (ao longo do eixo y) e o semi-eixo menor é 1 (ao longo do eixo x).
Para encontrar o volume da rotação em torno do eixo y, usamos o método dos discos. A fórmula geral é:
Aqui, precisamos expressar x em função de y:
Então, o raio do disco em cada y é . Vamos integrar de y = -3 a y = 3:
Calculando a integral:

Passo 3

Parte (11.2): Rotação em torno do eixo menor (eixo x)
Agora, vamos girar a elipse em torno do eixo x. Para isso, usamos novamente o método dos discos, mas agora precisamos expressar y em função de x.
A equação da elipse reescrita é:
O raio do disco em cada x é . Vamos integrar de x = -1 a x = 1:
Calculando a integral:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da elipse é:
  • Em torno do eixo maior (eixo y): unidades cúbicas.
  • Em torno do eixo menor (eixo x): unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são triângulos retângulos isósceles, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos seus catetos cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
(1.1) e o eixo
(1.2) e
(1.3) e
(1.4) e
(1.5) e
(1.6) e
(1.7) e
(1.8) e
(1.9) e
(1.10) e
Encontre os limites nos exercícios 1-12.
11.
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
(16.1) Esboce e calcule a sua área.
(16.2) Calcule o centróide de .
(16.3) A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.