Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.1) Eixo maior
(11.2) Eixo menor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que resulta ao girar a região limitada pela elipse em torno do eixo maior e do eixo menor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente os métodos de discos e cascas cilíndricas. Vamos lá!
Passo 2
Parte (11.1): Rotação em torno do eixo maior (eixo y)
Primeiro, vamos identificar o eixo maior da elipse. A equação pode ser reescrita como . Isso mostra que o semi-eixo maior é 3 (ao longo do eixo y) e o semi-eixo menor é 1 (ao longo do eixo x).
Para encontrar o volume da rotação em torno do eixo y, usamos o método dos discos. A fórmula geral é:
Aqui, precisamos expressar x em função de y:
Então, o raio do disco em cada y é . Vamos integrar de y = -3 a y = 3:
Calculando a integral:
Passo 3
Parte (11.2): Rotação em torno do eixo menor (eixo x)
Agora, vamos girar a elipse em torno do eixo x. Para isso, usamos novamente o método dos discos, mas agora precisamos expressar y em função de x.
A equação da elipse reescrita é:
O raio do disco em cada x é . Vamos integrar de x = -1 a x = 1:
Calculando a integral:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da elipse é:
Em torno do eixo maior (eixo y): unidades cúbicas.
Em torno do eixo menor (eixo x): unidades cúbicas.