Considere a função dada por:
(b) Determine a série de Fourier de
;
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para determinar a série de Fourier da função
definida no intervalo
por:
A série de Fourier é uma forma de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas para calcular os coeficientes da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica com período
é dada por:
Aqui,
é o coeficiente constante, e
e
são os coeficientes dos termos de cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula é:
Substituindo
:
Integrando por partes, obtemos que todos os
serão zero devido à simetria da função.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula é:
Substituindo
:
Integrando por partes, encontramos:
Passo 6
Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função
é:
Como
para todos os
, simplificamos para:
Resposta
A série de Fourier da função
é: