Considere a função dada por:
f:[0,2 pi] & x & mapstol x, se 0 <= x<2 pi 0, se x=2 pi
(b) Determine a série de Fourier de f;

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para determinar a série de Fourier da função f(x) = x, & se 0 <= x < 2pi 0, & se x = 2pi definida no intervalo por:
A série de Fourier é uma forma de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas para calcular os coeficientes da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica com período f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ] é dada por:
Aqui, é o coeficiente constante, e e são os coeficientes dos termos de cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1pi integral0^2pi f(x) , dx . A fórmula para a0 = 1pi integral0^2pi x , dx = 1pi [ x^22 ]0^2pi = 1pi ( (2pi)^22 ) = 2pi^2pi = 2pi é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1pi integral0^2pi f(x) cos(nx) , dx . A fórmula é:
an = 1pi integral0^2pi x cos(nx) , dx
Substituindo :
Integrando por partes, obtemos que todos os serão zero devido à simetria da função.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular os coeficientes bn = 1pi integral0^2pi f(x) sin(nx) , dx . A fórmula é:
bn = 1pi integral0^2pi x sin(nx) , dx
Substituindo bn = 2n (-1)^n+1 :
Integrando por partes, encontramos:

Passo 6

Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ] é:
f(x) = pi + sumn=1^infty 2n (-1)^n+1 sin(nx)
Como para todos os , simplificamos para:

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = pi + 2 sumn=1^infty (-1)^n+1n sin(nx) é:

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