Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que:
(h) e

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região definida por e é girada em torno do eixo . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A inequação representa um círculo de raio centrado na origem. A inequação significa que estamos considerando apenas a parte do círculo onde está entre 0 e , ou seja, acima do eixo e abaixo da linha .

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido de rotação, usaremos o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de discos circulares infinitesimais ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral para o volume é:
Onde é a função que descreve o raio do disco em cada ponto , e e são os limites de integração.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A interseção das duas curvas e ocorre quando substituímos na equação do círculo:
Como estamos considerando , e , o intervalo relevante para é de a .

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de para encontrar o raio do disco. A função superior da região é , e a função inferior é a parte do círculo resolvendo para :
Portanto, o raio do disco em cada é a distância entre e , que neste caso é simplesmente .

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular essa integral:

Resposta

Portanto, o volume do sólido de rotação é:

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Resolva os p.v.i(a) e
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
b.
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
e.
Resolva os p.v.i(b) e