Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
(h)
e
(h)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região definida por
e
é girada em torno do eixo
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A inequação
representa um círculo de raio
centrado na origem. A inequação
significa que estamos considerando apenas a parte do círculo onde
está entre 0 e
, ou seja, acima do eixo
e abaixo da linha
.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido de rotação, usaremos o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de discos circulares infinitesimais ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral para o volume
é:
Onde
é a função que descreve o raio do disco em cada ponto
, e
e
são os limites de integração.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A interseção das duas curvas
e
ocorre quando substituímos
na equação do círculo:
Como estamos considerando
, e
, o intervalo relevante para
é de
a
.
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
para encontrar o raio do disco. A função superior da região é
, e a função inferior é a parte do círculo resolvendo para
:
Portanto, o raio
do disco em cada
é a distância entre
e
, que neste caso é simplesmente
.
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular essa integral:
Resposta
Portanto, o volume do sólido de rotação é:
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e
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b.
b.
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e