Resolva os p.v.i(b) x e^(-t) d x/d t = t e x(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial:
Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias e métodos de separação de variáveis para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a derivada para deixar a equação mais fácil de trabalhar:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para cada lado da equação. Isso significa colocar todas as expressões com de um lado e com do outro:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados dessa equação para encontrar uma relação entre e :
A integral do lado esquerdo é simples:
Para resolver a integral do lado direito, usamos integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante :
Quando :

Passo 6

Substituindo o valor de na equação anterior:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Finalmente, isolamos tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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