Resolva os p.v.i(b)
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial:
Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias e métodos de separação de variáveis para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a derivada
para deixar a equação mais fácil de trabalhar:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
para cada lado da equação. Isso significa colocar todas as expressões com
de um lado e com
do outro:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados dessa equação para encontrar uma relação entre
e
:
A integral do lado esquerdo é simples:
Para resolver a integral do lado direito, usamos integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Quando
:
Passo 6
Substituindo o valor de
na equação anterior:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Finalmente, isolamos
tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
e.
e.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
(h) e
(h)
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f.
f.
Questão 2 [2,5 pontos] Determine se a seguinte função
é contínua no ponto
.