Resolva os p.v.i(a)
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a separação de variáveis e técnicas de integração. Vamos passo a passo, sem pular nada!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. A ideia é ter todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos
em termos de
e
, pronto para integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A equação fica:
Integrar o lado esquerdo é simples:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar mais tarde usando a condição inicial.
Passo 4
Vamos focar na integral do lado direito:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Então, elevando ao quadrado:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Isso nos permite substituir
na integral.
Passo 5
Voltando à integral:
Mas sabemos que:
Então:
E a expressão para
é:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, simplificamos a integral:
Podemos reescrever a fração assim:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Então, juntando tudo:
Passo 8
Lembrando que substituímos
, então substituímos de volta:
Agora, precisamos determinar a constante
usando a condição inicial
.
Passo 9
Aplicando a condição inicial
:
- Calculamos
-
Então:
Portanto,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
b.
b.
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
e-)
e-)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
(h) e
(h)
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
e.
e.