Resolva os p.v.i(a) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a separação de variáveis e técnicas de integração. Vamos passo a passo, sem pular nada!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . A ideia é ter todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro. Começamos dividindo ambos os lados por :
Agora, temos em termos de e , pronto para integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A equação fica:
Integrar o lado esquerdo é simples:
Onde é a constante de integração que vamos determinar mais tarde usando a condição inicial.

Passo 4

Vamos focar na integral do lado direito:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Então, elevando ao quadrado:
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Simplificando:
Isso nos permite substituir na integral.

Passo 5

Voltando à integral:
Mas sabemos que:
Então:
E a expressão para é:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Agora, simplificamos a integral:
Podemos reescrever a fração assim:
Então, a integral fica:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Então, juntando tudo:

Passo 8

Lembrando que substituímos , então substituímos de volta:
Agora, precisamos determinar a constante usando a condição inicial .

Passo 9

Aplicando a condição inicial :
  1. Calculamos
Então:
Portanto, .

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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b.
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e-)
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(h) e
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