Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
(i)
e
(i)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Cálculo que pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos cascos cilíndricos, que nos auxilia a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que está sendo rotacionada. O conjunto de pontos
que satisfazem:
Isso significa que estamos trabalhando com uma região delimitada entre
e
,
e
, e acima da curva
.
Passo 3
Vamos visualizar a curva
. Essa é uma parábola que abre para a direita, começando a partir de
. Como
está entre 0 e 2, e
entre 0 e 6, nossa região de interesse está localizada entre
e
, acima da curva mencionada.
Passo 4
Para calcular o volume da rotação em torno do eixo
, vamos usar o método dos cascos cilíndricos. A fórmula geral desse método é:
onde
é a distância do cascalho ao eixo de rotação (neste caso, o eixo
), e
é a altura do cascalho.
Passo 5
Identificamos os limites de integração. Como
varia de 2 a 6, nosso intervalo será de 2 a 6. A altura
é a diferença entre os valores de
, ou seja,
. Aqui,
e
.
Assim, a altura é:
Agora, substituindo na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Primeiro, calculamos
:
Agora, para
, fazemos uma substituição:
Seja
, então
e
.
Portanto:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, avaliamos os limites de 2 a 6 para ambas as integrais:
Calculando cada parte:
Substituindo:
Calculando os termos:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.