Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que:
(i) e

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cálculo que pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos cascos cilíndricos, que nos auxilia a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que está sendo rotacionada. O conjunto de pontos que satisfazem:
Isso significa que estamos trabalhando com uma região delimitada entre e , e , e acima da curva .

Passo 3

Vamos visualizar a curva . Essa é uma parábola que abre para a direita, começando a partir de . Como está entre 0 e 2, e entre 0 e 6, nossa região de interesse está localizada entre e , acima da curva mencionada.

Passo 4

Para calcular o volume da rotação em torno do eixo , vamos usar o método dos cascos cilíndricos. A fórmula geral desse método é:
onde é a distância do cascalho ao eixo de rotação (neste caso, o eixo ), e é a altura do cascalho.

Passo 5

Identificamos os limites de integração. Como varia de 2 a 6, nosso intervalo será de 2 a 6. A altura é a diferença entre os valores de , ou seja, áí. Aqui, á e í.
Assim, a altura é:
Agora, substituindo na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Primeiro, calculamos :
Agora, para , fazemos uma substituição:
Seja , então e .
Portanto:
Voltando para :

Passo 7

Agora, avaliamos os limites de 2 a 6 para ambas as integrais:
Calculando cada parte:
Substituindo:
Calculando os termos:

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional a quarta potência de sua posição . Modele essa situação com uma equação diferencial.
A taxa de variação de uma certa população é proporcional à raiz quadrada de sua dimensão. Modele esta situação com uma equação diferencial.
Prove que é uma solução da equação diferencial dada:
©
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
c-)