Prove que y é uma solução da equação diferencial dada:
© (x - 2y) dy/dx + 2x + y = 0 ; y^2 - x^2 - xy = c ; c em R

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E também uma relação entre e :
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente a verificação de soluções. Vamos precisar calcular a derivada de em relação a e substituir na equação diferencial para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a relação em relação a . Lembre-se que, ao derivar uma função implícita, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , a de é e a de é .
Então, diferenciando ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa expressão para isolar os termos com :
Fatorando :

Passo 4

Agora, queremos expressar a equação diferencial na forma dada na questão. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por :
Multiplicando ambos os lados por para ajustar o sinal:
Reescrevendo a equação:

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação diferencial dada.

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