Prove que
é uma solução da equação diferencial dada:
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E também uma relação entre
e
:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente a verificação de soluções. Vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
e substituir na equação diferencial para ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a relação
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar uma função implícita, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, a de
é
e a de
é
.
Então, diferenciando ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa expressão para isolar os termos com
:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, queremos expressar a equação diferencial na forma dada na questão. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Multiplicando ambos os lados por
para ajustar o sinal:
Reescrevendo a equação:
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação diferencial dada.