A velocidade no instante
de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional a quarta potência de sua posição
. Modele essa situação com uma equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que se move em linha reta, e a velocidade dela no tempo
é proporcional à quarta potência da posição
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, que ajudam a modelar relações entre uma função e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar entender a relação entre velocidade e posição e como expressar isso matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, isso é representado pela derivada da posição
em relação ao tempo
, ou seja:
Aqui,
é a velocidade, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
O enunciado diz que a velocidade é proporcional à quarta potência da posição. Isso significa que podemos escrever essa relação como:
Onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 4
Agora, substituímos a expressão da velocidade que encontramos no Passo 2 na equação acima:
Essa é a equação diferencial que modela a situação descrita no exercício.
Resposta
A equação diferencial que modela a situação é:
Exercícios relacionados
A taxa de variação de uma certa população é proporcional à raiz quadrada de sua dimensão. Modele esta situação com uma equação diferencial.
Nos problemas a seguir, uma equação diferencial é dada junto com o campo ou área de atuação em que ela aparece. Classifique cada uma como uma EDO ou EDP, dê a ordem e indique as variáveis independentes e dependentes. Se for uma EDO, indique se ela é linear ou não linear.
(f) , onde
e
são constantes. (curva logística, epidemologia, economia)
(f)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
(i) e
(i)
Prove que
é uma solução da equação diferencial dada:
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