A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional a quarta potência de sua posição . Modele essa situação com uma equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que se move em linha reta, e a velocidade dela no tempo é proporcional à quarta potência da posição . Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, que ajudam a modelar relações entre uma função e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar entender a relação entre velocidade e posição e como expressar isso matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, isso é representado pela derivada da posição em relação ao tempo , ou seja:
Aqui, é a velocidade, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

O enunciado diz que a velocidade é proporcional à quarta potência da posição. Isso significa que podemos escrever essa relação como:
Onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 4

Agora, substituímos a expressão da velocidade que encontramos no Passo 2 na equação acima:
Essa é a equação diferencial que modela a situação descrita no exercício.

Resposta

A equação diferencial que modela a situação é:

Exercícios relacionados

A taxa de variação de uma certa população é proporcional à raiz quadrada de sua dimensão. Modele esta situação com uma equação diferencial.
Nos problemas a seguir, uma equação diferencial é dada junto com o campo ou área de atuação em que ela aparece. Classifique cada uma como uma EDO ou EDP, dê a ordem e indique as variáveis independentes e dependentes. Se for uma EDO, indique se ela é linear ou não linear.
(f) , onde e são constantes. (curva logística, epidemologia, economia)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que:
(i) e
Prove que é uma solução da equação diferencial dada:
©