A taxa de variação de uma certa população é proporcional à raiz quadrada de sua dimensão. Modele esta situação com uma equação diferencial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está dizendo. A taxa de variação de uma população — ou seja, como a população muda ao longo do tempo — é proporcional à raiz quadrada do tamanho dessa população. Isso envolve conceitos de equações diferenciais, que são usadas para modelar situações onde algo está mudando em relação a outra coisa. Para resolver, vamos precisar lembrar como expressar uma proporcionalidade matematicamente e utilizar derivadas.
Passo 2
Vamos chamar a população de
, onde
representa o tempo. A taxa de variação da população é a derivada de
em relação ao tempo, que escrevemos como
.
Passo 3
O enunciado diz que
é proporcional à raiz quadrada de
. Proporcional significa que uma é igual a uma constante multiplicada pela outra. Então, podemos escrever:
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 4
Portanto, a equação diferencial que modela essa situação é:
Resposta
A equação diferencial que modela a situação é:
Exercícios relacionados
Nos problemas a seguir, uma equação diferencial é dada junto com o campo ou área de atuação em que ela aparece. Classifique cada uma como uma EDO ou EDP, dê a ordem e indique as variáveis independentes e dependentes. Se for uma EDO, indique se ela é linear ou não linear.
(f) , onde
e
são constantes. (curva logística, epidemologia, economia)
(f)
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
d.
d.
A velocidade no instante
de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional a quarta potência de sua posição
. Modele essa situação com uma equação diferencial.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
(i) e
(i)