Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
c-)
c-)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de variáveis separáveis:
Isso significa que conseguimos separar as variáveis
e
para resolver a equação. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para isolar
. Dividindo todos os termos por
, temos:
Isolando
:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão no lado direito da equação. Factorando
no denominador:
Isso nos ajuda a ver melhor como separar as variáveis.
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Aqui, movemos todos os termos envolvendo
para o lado esquerdo e os termos envolvendo
para o lado direito.
Passo 5
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Passo 6
Realizando as integrações, obtemos:
Onde
é a constante de integração que surge ao integrar.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Prove que
é uma solução da equação diferencial dada:
©
©
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
(i) e
(i)
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
g-)
g-)
Desenhe as curvas de nivel e determine a imagem.