Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
c-) 3y dx + (xy + 5x) dy = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de variáveis separáveis:
Isso significa que conseguimos separar as variáveis e para resolver a equação. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para isolar . Dividindo todos os termos por , temos:
Isolando :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão no lado direito da equação. Factorando no denominador:
Isso nos ajuda a ver melhor como separar as variáveis.

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis e . Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Aqui, movemos todos os termos envolvendo para o lado esquerdo e os termos envolvendo para o lado direito.

Passo 5

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 6

Realizando as integrações, obtemos:
Onde é a constante de integração que surge ao integrar.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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