Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que
raiz(x) <= y <= -x + 6, x >= 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo y a região definida por todos os pares (x, y) que satisfazem as seguintes condições:
Isso envolve conceitos de cálculo de volumes por rotação, especificamente usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando o sólido é gerado pela rotação em torno de um eixo vertical ou horizontal e facilita o cálculo de volumes em situações assim.

Passo 3

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. Vamos encontrar os pontos onde as duas funções se intersectam:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, os limites de x vão de 0 a (já que x >= 0 e o intervalo de interseção é até x = 4).

Passo 4

Agora, aplicamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula para o volume V é:
Onde:
  • x é o raio das cascas,
  • f(x) é a função de cima ( ),
  • g(x) é a função de baixo ( raiz(x)),
  • a e b são os limites de integração.

Passo 5

Substituindo as funções e os limites na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro do integral:

Passo 6

Agora, expandimos o integrando:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando termo a termo:

Passo 8

Substituindo as integrais na expressão do volume:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a .

Passo 9

Calculando para :
Calculando para x = 0:
Portanto, a diferença é apenas a avaliação em .

Passo 10

Calculando os termos:
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação é unidades de volume.

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