Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo
a região definida por todos os pares
que satisfazem as seguintes condições:
Isso envolve conceitos de cálculo de volumes por rotação, especificamente usando o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Para resolver esse problema, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando o sólido é gerado pela rotação em torno de um eixo vertical ou horizontal e facilita o cálculo de volumes em situações assim.
Passo 3
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. Vamos encontrar os pontos onde as duas funções se intersectam:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, os limites de
vão de
a
(já que
e o intervalo de interseção é até
).
Passo 4
Agora, aplicamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula para o volume
é:
Onde:
-
é o raio das cascas, -
é a função de cima ( ), -
é a função de baixo ( ), -
e são os limites de integração.
Passo 5
Substituindo as funções e os limites na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro do integral:
Passo 6
Agora, expandimos o integrando:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Integrando termo a termo:
Passo 8
Substituindo as integrais na expressão do volume:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
a
.
Passo 9
Calculando para
:
Calculando para
:
Portanto, a diferença é apenas a avaliação em
.
Passo 10
Calculando os termos:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação é
unidades de volume.
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.
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