Desenhe a curva dada (coordenadas polares):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a curva que é dada em coordenadas polares pela equação
. Isso faz parte da matéria de coordenadas polares na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como plotar uma curva usando essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Diferente das coordenadas cartesianas (x, y), as coordenadas polares usam um ângulo
e uma distância
a partir do ponto central (origem) para localizar um ponto no plano. Então, para cada valor de
, temos um valor correspondente de
que nos dá a posição do ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada:
. Isso significa que para cada ângulo
, a distância do ponto à origem é igual ao cosseno de
ao quadrado. Como o cosseno varia entre -1 e 1, ao quadrado,
varia entre 0 e 1. Portanto, nossos valores de
vão de 0 a 1.
Passo 4
Para desenhar a curva, vamos calcular alguns pontos para diferentes valores de
. Vamos escolher ângulos comuns, como
,
,
,
,
, e assim por diante, e calcular o correspondente
.
Por exemplo:
- Para
, - Para
, - Para
, - Para
, - Para
,
Passo 5
Plotando esses pontos no gráfico polar, notamos que a curva forma uma espécie de “coração” ou “lemniscata”, simétrica em relação ao eixo polar (horizontal). Como
depende do cosseno de
, a curva se repete a cada
, mostrando simetria.
Passo 6
Além de plotar, podemos analisar alguns aspectos da curva:
- Simetria: A curva é simétrica em relação ao eixo horizontal porque a função
é a mesma para e . - Intervalo de
: Como já vimos, varia de 0 a 1. - Forma geral: A curva não tem interceptos além da origem e dos pontos onde
.
Resposta
Ent��o, ao desenharmos a curva
no sistema de coordenadas polares, obtemos uma figura simétrica em relação ao eixo horizontal, com a forma de uma lemniscata que varia entre
e
. A curva repete seu padrão a cada
devido à periodicidade do cosseno ao quadrado.
Exercícios relacionados
Prove que o vetor tangente unitário da hélice circular,
, faz um ângulo constante com o vetor unitário
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação vetorial
. Prove que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais entre si em
.
Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar o(s) ponto(s) da curva
mais próximo(s) da origem.