Desenhe a curva dada (coordenadas polares):
rho = cos^2(theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a curva que é dada em coordenadas polares pela equação . Isso faz parte da matéria de coordenadas polares na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como plotar uma curva usando essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Diferente das coordenadas cartesianas (x, y), as coordenadas polares usam um ângulo theta e uma distância rho a partir do ponto central (origem) para localizar um ponto no plano. Então, para cada valor de theta, temos um valor correspondente de rho que nos dá a posição do ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada: . Isso significa que para cada ângulo theta, a distância do ponto à origem é igual ao cosseno de theta ao quadrado. Como o cosseno varia entre -1 e 1, ao quadrado, varia entre 0 e 1. Portanto, nossos valores de rho vão de 0 a 1.

Passo 4

Para desenhar a curva, vamos calcular alguns pontos para diferentes valores de theta. Vamos escolher ângulos comuns, como , , , , , e assim por diante, e calcular o correspondente rho.
Por exemplo:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,

Passo 5

Plotando esses pontos no gráfico polar, notamos que a curva forma uma espécie de “coração” ou “lemniscata”, simétrica em relação ao eixo polar (horizontal). Como rho depende do cosseno de theta, a curva se repete a cada , mostrando simetria.

Passo 6

Além de plotar, podemos analisar alguns aspectos da curva:
  • Simetria: A curva é simétrica em relação ao eixo horizontal porque a função é a mesma para theta e .
  • Intervalo de rho: Como já vimos, rho varia de 0 a 1.
  • Forma geral: A curva não tem interceptos além da origem e dos pontos onde .

Resposta

Ent��o, ao desenharmos a curva no sistema de coordenadas polares, obtemos uma figura simétrica em relação ao eixo horizontal, com a forma de uma lemniscata que varia entre e . A curva repete seu padrão a cada devido à periodicidade do cosseno ao quadrado.

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