Prove que o vetor tangente unitário da hélice circular, sigma(t) = a cos(t) i + a sen(t) j + t k, faz um ângulo constante com o vetor unitário k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o vetor tangente unitário de uma hélice circular faz um ângulo constante com o vetor unitário . A gente vai precisar usar conceitos de derivadas vetoriais para achar o vetor tangente e depois verificar esse ângulo. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função que define a hélice, que é . A derivada de um vetor em relação a nos dá o vetor velocidade, que é o vetor tangente antes de normalizarmos.

Passo 3

Agora, precisamos normalizar esse vetor velocidade para obter o vetor tangente unitário . Para isso, calculamos a magnitude de e dividimos cada componente por essa magnitude.
A magnitude de é:
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o ângulo entre e o vetor unitário . Para isso, usamos o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Onde é o ângulo entre eles. Como já é um vetor unitário e também é unitário, a fórmula simplifica para:
Vamos calcular esse produto escalar:

Passo 5

Observamos que o produto escalar resultou em , que é uma constante, ou seja, não depende de . Isso significa que o cosseno do ângulo entre e é constante para qualquer valor de .

Resposta

Portanto, o vetor tangente unitário da hélice circular faz um ângulo constante com o vetor unitário , sendo o cosseno desse ângulo igual a .

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