Prove que o vetor tangente unitário da hélice circular,
, faz um ângulo constante com o vetor unitário
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o vetor tangente unitário de uma hélice circular faz um ângulo constante com o vetor unitário
. A gente vai precisar usar conceitos de derivadas vetoriais para achar o vetor tangente e depois verificar esse ângulo. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função que define a hélice, que é
. A derivada de um vetor em relação a
nos dá o vetor velocidade, que é o vetor tangente antes de normalizarmos.
Passo 3
Agora, precisamos normalizar esse vetor velocidade para obter o vetor tangente unitário
. Para isso, calculamos a magnitude de
e dividimos cada componente por essa magnitude.
A magnitude de
é:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o ângulo entre
e o vetor unitário
. Para isso, usamos o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Onde
é o ângulo entre eles. Como
já é um vetor unitário e
também é unitário, a fórmula simplifica para:
Vamos calcular esse produto escalar:
Passo 5
Observamos que o produto escalar
resultou em
, que é uma constante, ou seja, não depende de
. Isso significa que o cosseno do ângulo
entre
e
é constante para qualquer valor de
.
Resposta
Portanto, o vetor tangente unitário da hélice circular faz um ângulo constante com o vetor unitário
, sendo o cosseno desse ângulo igual a
.
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, do conjunto de todos os pares
tais que
Desenhe a curva dada (coordenadas polares):
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.
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.