Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. A equação dada é:
Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação. Esse método ajuda a simplificar a equação diferencial para que possamos encontrar a solução geral e, depois, aplicar a condição inicial para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Temos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. Ele é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A partir daqui, a esquerda da equação se torna a derivada do produto
:
Isso simplifica muito a resolução, pois agora temos uma equação mais fácil de integrar.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, e o lado direito integra facilmente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
Utilizamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Como
não é zero, temos:
Passo 9
Substituindo
de volta na solução geral:
Passo 10
Para esboçar o gráfico, podemos notar que a solução envolve
, que cresce muito rápido, multiplicado por
. A função estará definida para todos os valores de
, já que não há restrições que tornem o denominador zero ou outras complicações.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa função está definido para todo
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
e
Considere a equação
© Agora, calcule
e expresse
como uma função de
e
.
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(j)
(j)
Verifique se
é solução da equação
.