Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(f) y' - 2y = t e^(2t), y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. A equação dada é:
Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação. Esse método ajuda a simplificar a equação diferencial para que possamos encontrar a solução geral e, depois, aplicar a condição inicial para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Temos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . Ele é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A partir daqui, a esquerda da equação se torna a derivada do produto :
Isso simplifica muito a resolução, pois agora temos uma equação mais fácil de integrar.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , e o lado direito integra facilmente:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Utilizamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :
Como não é zero, temos:

Passo 9

Substituindo de volta na solução geral:

Passo 10

Para esboçar o gráfico, podemos notar que a solução envolve , que cresce muito rápido, multiplicado por . A função estará definida para todos os valores de , já que não há restrições que tornem o denominador zero ou outras complicações.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa função está definido para todo .

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