Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(j) d y/d x + tg(x) y = 3 ; y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a solução que passa por um ponto específico. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e a técnica de fator integrante para resolver. Precisaremos entender como aplicar essas ferramentas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão. A equação dada é:
Aqui, é a derivada de em relação a , é uma função de , e parece ser uma constante. Vamos assumir que é uma constante para seguir com a resolução.

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Comparando com a equação que temos:

Passo 4

Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação na forma:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Agora, substituímos na expressão acima.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Para esboçar o gráfico, você pode usar ferramentas como o Desmos ou GeoGebra inserindo essa função. O intervalo de definição da solução depende das integrais envolvidas e de onde está definida, então certifique-se de que é contínua no intervalo considerado.

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