Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a solução que passa por um ponto específico. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e a técnica de fator integrante para resolver. Precisaremos entender como aplicar essas ferramentas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão. A equação dada é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
,
é uma função de
, e
parece ser uma constante. Vamos assumir que
é uma constante para seguir com a resolução.
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Comparando com a equação que temos:
Passo 4
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação na forma:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
na expressão acima.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Para esboçar o gráfico, você pode usar ferramentas como o Desmos ou GeoGebra inserindo essa função. O intervalo de definição da solução depende das integrais envolvidas e de onde
está definida, então certifique-se de que
é contínua no intervalo considerado.
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Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(f)
(f)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
e
Verifique se
é solução da equação
.
Defina precisamente as expressões matemáticas abaixo, falando do domínio de
e de
caso necessário: