Calcule o volume do sólido entre o paraboloide
e o plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que está entre o paraboloide
e o plano
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Vamos determinar onde as duas superfícies se intersectam para definir os limites da integração. Igualando as equações das superfícies:
Passo 3
Rearranjando a equação para facilitar a identificação da região de integração:
Isso representa um círculo com centro em
e raio 1.
Passo 4
Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. Entretanto, para facilitar, mantemos as coordenadas cartesianas e definimos os limites:
O círculo
significa que
varia de 0 a 2, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 5
A diferença entre as duas superfícies nos dá a função que vamos integrar para encontrar o volume:
onde
é a região do círculo
.
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 7
Integramos cada termo separadamente:
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, o que simplifica os limites de integração e a expressão sob a raiz:
Passo 10
Integrando cada termo separadamente e utilizando propriedades de simetria e tabelas de integrais:
Após resolver a integral, encontramos:
Resposta
O volume do sólido entre o paraboloide
e o plano
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Seja
a massa de uma região sólida
. Escreva (sem calcular)
como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
Seja
a porção da bola
que se situa acima do cone
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
(hemisfério superior da bola). Calcule o centroide do sólido
. (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do Exercício 10.)