Calcule o volume do sólido entre o paraboloide e o plano .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que está entre o paraboloide e o plano . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Vamos determinar onde as duas superfícies se intersectam para definir os limites da integração. Igualando as equações das superfícies:

Passo 3

Rearranjando a equação para facilitar a identificação da região de integração:
Isso representa um círculo com centro em e raio 1.

Passo 4

Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. Entretanto, para facilitar, mantemos as coordenadas cartesianas e definimos os limites:
O círculo significa que varia de 0 a 2, e para cada , varia de a .

Passo 5

A diferença entre as duas superfícies nos dá a função que vamos integrar para encontrar o volume:
onde é a região do círculo .

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a :

Passo 7

Integramos cada termo separadamente:

Passo 8

Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Para resolver essa integral, fazemos a substituição , o que simplifica os limites de integração e a expressão sob a raiz:

Passo 10

Integrando cada termo separadamente e utilizando propriedades de simetria e tabelas de integrais:
Após resolver a integral, encontramos:

Resposta

O volume do sólido entre o paraboloide e o plano é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Seja a porção da bola que se situa acima do plano .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Seja a massa de uma região sólida . Escreva (sem calcular) como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
Seja a porção da bola que se situa acima do cone .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Seja a porção da bola que se situa acima do plano (hemisfério superior da bola). Calcule o centroide do sólido . (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do Exercício 10.)