Seja G a porção da bola x^2 + y^2 + z^2 <= 9 que se situa acima do cone z = raiz(x^2 + y^2).
Escreva (sem calcular) o volume do sólido G como uma integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar o volume de uma parte de uma bola que está acima de um cone. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais triplas, mais especificamente em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas esféricas e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: o raio rho, o ângulo polar phi (medido a partir do eixo z), e o ângulo azimutal theta (no plano xy). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos identificar a região que estamos considerando. A bola é definida por , o que em coordenadas esféricas fica simplesmente , já que o raio da bola é 3. O cone é dado por . Em coordenadas esféricas, substituindo z e , temos:
Então, o cone corresponde a .

Passo 4

Com isso, a região G que estamos considerando está acima do cone, ou seja, phi vai de 0 até pi/4. O raio rho varia de 0 até 3, e o ângulo theta completa uma volta completa, de 0 a . O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 5

Agora, juntando tudo, o volume de G pode ser expresso como uma integral tripla onde rho varia de 0 a 3, phi de 0 a pi/4, e theta de 0 a . Assim, a integral fica:

Resposta

Exercícios relacionados