Seja
a porção da bola
que se situa acima do cone
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar o volume de uma parte de uma bola que está acima de um cone. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais triplas, mais especificamente em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas esféricas e definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: o raio
, o ângulo polar
(medido a partir do eixo z), e o ângulo azimutal
(no plano xy). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 3
Agora, vamos identificar a região que estamos considerando. A bola é definida por
, o que em coordenadas esféricas fica simplesmente
, já que o raio da bola é 3. O cone é dado por
. Em coordenadas esféricas, substituindo
e
, temos:
Então, o cone corresponde a
.
Passo 4
Com isso, a região G que estamos considerando está acima do cone, ou seja,
vai de 0 até
. O raio
varia de 0 até 3, e o ângulo
completa uma volta completa, de
a
. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 5
Agora, juntando tudo, o volume de G pode ser expresso como uma integral tripla onde
varia de 0 a 3,
de 0 a
, e
de 0 a
. Assim, a integral fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido entre o paraboloide
e o plano
.
Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
(hemisfério superior da bola). Calcule o centroide do sólido
. (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do Exercício 10.)
Seja
a porção da bola
que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados
, pelo plano
e pela esfera
.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é igual a
, como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região