Seja a porção da bola que se situa acima do cone .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar o volume de uma parte de uma bola que está acima de um cone. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais triplas, mais especificamente em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas esféricas e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: o raio , o ângulo polar (medido a partir do eixo z), e o ângulo azimutal (no plano xy). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos identificar a região que estamos considerando. A bola é definida por , o que em coordenadas esféricas fica simplesmente , já que o raio da bola é 3. O cone é dado por . Em coordenadas esféricas, substituindo e , temos:
Então, o cone corresponde a .

Passo 4

Com isso, a região G que estamos considerando está acima do cone, ou seja, vai de 0 até . O raio varia de 0 até 3, e o ângulo completa uma volta completa, de a . O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 5

Agora, juntando tudo, o volume de G pode ser expresso como uma integral tripla onde varia de 0 a 3, de 0 a , e de 0 a . Assim, a integral fica:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido entre o paraboloide e o plano .
Seja a porção da bola que se situa acima do plano .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Seja a porção da bola que se situa acima do plano (hemisfério superior da bola). Calcule o centroide do sólido . (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do Exercício 10.)
Seja a porção da bola que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados , pelo plano e pela esfera .
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é igual a , como uma integral tripla em coordenadas esféricas.