Seja
a massa de uma região sólida
. Escreva (sem calcular)
como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve integrais triplas em coordenadas esféricas. A gente precisa pegar essa massa
que está dada em coordenadas esféricas e reescrever ela usando coordenadas cartesianas. Para fazer isso, vamos precisar entender como converter coordenadas esféricas para cartesianas e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas e cartesianas. Nas coordenadas esféricas, temos
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo z. -
é o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano xy.
Nas coordenadas cartesianas, usamos
. A relação entre elas é:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão da massa
:
Queremos reescrever isso em coordenadas cartesianas. Primeiro, identificamos que a função integranda
precisa ser expressa em termos de
. Sabemos que:
Então, substituindo:
Mas em coordenadas cartesianas, o elemento de volume
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas cartesianas. Observando os limites originais:
-
varia de a , o que cobre todo o círculo no plano xy. -
varia de a , limitando o ângulo polar. -
varia de a .
Em coordenadas cartesianas, isso determina uma região específica no espaço. Mas como o exercício pede apenas para escrever a integral sem calcular, podemos deixar os limites gerais.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
em que
é a região sólida do semiespaço
delimitada acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Considere o sólido
, do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação
, o plano
e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a massa do sólido
como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas
Escreva (sem calcular) a massa
Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Calcule o volume do sólido entre o paraboloide
e o plano
.