Seja a massa de uma região sólida . Escreva (sem calcular) como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve integrais triplas em coordenadas esféricas. A gente precisa pegar essa massa que está dada em coordenadas esféricas e reescrever ela usando coordenadas cartesianas. Para fazer isso, vamos precisar entender como converter coordenadas esféricas para cartesianas e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas e cartesianas. Nas coordenadas esféricas, temos , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo z.
  • é o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano xy.
Nas coordenadas cartesianas, usamos . A relação entre elas é:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão da massa :
Queremos reescrever isso em coordenadas cartesianas. Primeiro, identificamos que a função integranda precisa ser expressa em termos de . Sabemos que:
Então, substituindo:
Mas em coordenadas cartesianas, o elemento de volume .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas cartesianas. Observando os limites originais:
  • varia de a , o que cobre todo o círculo no plano xy.
  • varia de a , limitando o ângulo polar.
  • varia de a .
Em coordenadas cartesianas, isso determina uma região específica no espaço. Mas como o exercício pede apenas para escrever a integral sem calcular, podemos deixar os limites gerais.

Resposta

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Seja em que é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Considere o sólido , do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação , o plano e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a massa do sólido como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas
Seja a porção da bola que se situa acima do plano .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume do sólido entre o paraboloide e o plano .