Seja a porção da bola que se situa acima do plano .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma parte da bola definida pela equação que está acima do plano . Nosso objetivo é escrever o volume desse sólido usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura do ponto.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por . Isso significa que, para calcular o volume, vamos integrar esse elemento sobre os limites apropriados de , e .

Passo 3

Vamos converter a equação da esfera para coordenadas cilíndricas. A equação dada é:
Em coordenadas cilíndricas, . Então, a equação da esfera vira:
Isso nos mostra que, para cada , o valor de está limitado por:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável.
  1. : Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a .
  2. : Para encontrar os limites de , consideramos que a interseção da esfera com o plano ocorre quando . Substituindo na equação da esfera:
Portanto, varia de a .
  1. : Como está acima do plano e abaixo da esfera, varia de até .

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume de em coordenadas cilíndricas:

Resposta

A integral tripla que representa o volume do sólido em coordenadas cilíndricas é:

Exercícios relacionados

Seja a massa de uma região sólida . Escreva (sem calcular) como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
Seja em que é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume do sólido entre o paraboloide e o plano .
Seja a porção da bola que se situa acima do cone .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas esféricas.