Seja G a porção da bola x^2 + y^2 + z^2 <= 25 que se situa acima do plano z = 3.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido G como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma parte da bola definida pela equação que está acima do plano . Nosso objetivo é escrever o volume desse sólido usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura do ponto.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por . Isso significa que, para calcular o volume, vamos integrar esse elemento sobre os limites apropriados de , e .

Passo 3

Vamos converter a equação da esfera para coordenadas cilíndricas. A equação dada é:
Em coordenadas cilíndricas, . Então, a equação da esfera vira:
Isso nos mostra que, para cada , o valor de está limitado por:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável.
  1. : Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a .
  2. : Para encontrar os limites de , consideramos que a interseção da esfera com o plano ocorre quando . Substituindo na equação da esfera:
Portanto, varia de a .
  1. : Como está acima do plano e abaixo da esfera, varia de até .

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume de em coordenadas cilíndricas:

Resposta

A integral tripla que representa o volume do sólido em coordenadas cilíndricas é:

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