Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Passo 1
Ok, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma parte da bola definida pela equação
que está acima do plano
. Nosso objetivo é escrever o volume desse sólido
usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas e determinar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura do ponto.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
. Isso significa que, para calcular o volume, vamos integrar esse elemento sobre os limites apropriados de
,
e
.
Passo 3
Vamos converter a equação da esfera para coordenadas cilíndricas. A equação dada é:
Em coordenadas cilíndricas,
. Então, a equação da esfera vira:
Isso nos mostra que, para cada
, o valor de
está limitado por:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável.
-
: Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a . -
: Para encontrar os limites de , consideramos que a interseção da esfera com o plano ocorre quando . Substituindo na equação da esfera:
Portanto,
varia de
a
.
-
: Como está acima do plano e abaixo da esfera, varia de até .
Passo 5
Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume de
em coordenadas cilíndricas:
Resposta
A integral tripla que representa o volume do sólido
em coordenadas cilíndricas é:
Exercícios relacionados
Seja
a massa de uma região sólida
. Escreva (sem calcular)
como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
Seja
em que
é a região sólida do semiespaço
delimitada acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume do sólido entre o paraboloide
e o plano
.
Seja
a porção da bola
que se situa acima do cone
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido