Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
(hemisfério superior da bola). Calcule o centroide do sólido
. (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do Exercício 10.)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma porção de uma bola definida pela equação
que está acima do plano
, ou seja, o hemisfério superior dessa bola. Nosso objetivo é calcular o centroide desse sólido
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de centroides de corpos de revolução, e utilizar integrais para encontrar as coordenadas do centroide.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centroide de um sólido é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sólido está concentrada. Como nosso sólido é simétrico em relação aos eixos
e
, sabemos que as coordenadas
e
do centroide serão zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a fórmula do centroide para a coordenada
:
onde
é o volume do sólido
.
Passo 4
Vamos calcular o volume
do hemisfério. A fórmula do volume de uma esfera completa de raio
é
. Como temos um hemisfério, o volume será metade disso:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Para facilitar, podemos usar coordenadas esféricas, onde
, e o diferencial de volume é
.
Passo 6
Por ser o hemisfério superior, os limites das integrais são:
Então, a integral fica:
Passo 7
Realizando a integração:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Passo 8
Agora, substituímos na fórmula do centroide:
Resposta
O centroide do sólido
está localizado no ponto
.