Seja a porção da bola que se situa acima do plano (hemisfério superior da bola). Calcule o centroide do sólido . (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do Exercício 10.)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma porção de uma bola definida pela equação que está acima do plano , ou seja, o hemisfério superior dessa bola. Nosso objetivo é calcular o centroide desse sólido . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de centroides de corpos de revolução, e utilizar integrais para encontrar as coordenadas do centroide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centroide de um sólido é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sólido está concentrada. Como nosso sólido é simétrico em relação aos eixos e , sabemos que as coordenadas e do centroide serão zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada .

Passo 3

Para encontrar , usamos a fórmula do centroide para a coordenada :
onde é o volume do sólido .

Passo 4

Vamos calcular o volume do hemisfério. A fórmula do volume de uma esfera completa de raio é . Como temos um hemisfério, o volume será metade disso:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Para facilitar, podemos usar coordenadas esféricas, onde , e o diferencial de volume é .

Passo 6

Por ser o hemisfério superior, os limites das integrais são:
Então, a integral fica:

Passo 7

Realizando a integração:
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :
Multiplicando tudo:

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula do centroide:

Resposta

O centroide do sólido está localizado no ponto .

Exercícios relacionados

Seja a porção da bola que se situa acima do cone .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Calcule o volume do sólido entre o paraboloide e o plano .
Seja a porção da bola que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados , pelo plano e pela esfera .
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é igual a , como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Seja em que é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.