Nos Problemas 31 e 32, é um ponto singular regular da equação diferencial indicada. Mostre que as raízes indiciais da singularidade diferem por um inteiro. Use a relação de recorrência determinada pelo método de Frobenius primeiro com a maior raiz . Quantas soluções você obteve? A seguir, use a relação de recorrência com a menor raiz . Quantas soluções você obteve?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aí:
O ponto é uma singularidade regular dessa equação. Vamos usar o Método de Frobenius para encontrar as soluções e mostrar que as raízes da equação indicial diferem por um inteiro. Vamos precisar entender sobre pontos singulares, equações indiciais e relações de recorrência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão para aplicar o Método de Frobenius:
Aqui, dividimos todos os termos por para deixar a equação na forma , onde:

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes e perto de :
Como os coeficientes têm termos com , é um ponto singular. E como e têm, no máximo, singularidades de ordem 1 e 2, respectivamente, é uma singularidade regular.

Passo 4

Para aplicar o Método de Frobenius, assumimos uma solução da forma:
Derivando :

Passo 5

Substituindo , e na equação original:
Isso fica:
Simplificando os índices:

Passo 6

Agora, ajustamos os índices para termos com :
Para os termos com , fazemos :
Agora, todas as séries têm , então podemos igualar os coeficientes a zero.

Passo 7

A equação indicial vem dos termos de menor potência, que é :
Simplificando:
Então, a equação indicial é:

Passo 8

Resolvendo a equação indicial:
As raízes são:
As raízes diferem por 7, que é um inteiro.

Passo 9

Como as raízes da equação indicial diferem por um inteiro (7), isso impacta o número de soluções que obtemos.
Primeiro, usamos a maior raiz . Com essa raiz, podemos obter duas soluções lineares independentes. Portanto, ao usar , conseguimos duas soluções.

Passo 10

Agora, usando a menor raiz . Devido à diferença inteira, ao usar , geralmente obtemos apenas uma solução sem a necessidade de uma solução adicional envolvendo logaritmos. Assim, ao utilizar , obtemos uma única solução.

Resposta

As raízes da equação indicial diferem por um inteiro (7). Usando a maior raiz , obtemos duas soluções. Usando a menor raiz , obtemos uma única solução.

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