Nos Problemas 31 e 32,
é um ponto singular regular da equação diferencial indicada. Mostre que as raízes indiciais da singularidade diferem por um inteiro. Use a relação de recorrência determinada pelo método de Frobenius primeiro com a maior raiz
. Quantas soluções você obteve? A seguir, use a relação de recorrência com a menor raiz
. Quantas soluções você obteve?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aí:
O ponto
é uma singularidade regular dessa equação. Vamos usar o Método de Frobenius para encontrar as soluções e mostrar que as raízes da equação indicial diferem por um inteiro. Vamos precisar entender sobre pontos singulares, equações indiciais e relações de recorrência.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão para aplicar o Método de Frobenius:
Aqui, dividimos todos os termos por
para deixar a equação na forma
, onde:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes
e
perto de
:
Como os coeficientes têm termos com
,
é um ponto singular. E como
e
têm, no máximo, singularidades de ordem 1 e 2, respectivamente,
é uma singularidade regular.
Passo 4
Para aplicar o Método de Frobenius, assumimos uma solução da forma:
Derivando
:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original:
Isso fica:
Simplificando os índices:
Passo 6
Agora, ajustamos os índices para termos com
:
Para os termos com
, fazemos
:
Agora, todas as séries têm
, então podemos igualar os coeficientes a zero.
Passo 7
A equação indicial vem dos termos de menor potência, que é
:
Simplificando:
Então, a equação indicial é:
Passo 8
Resolvendo a equação indicial:
As raízes são:
As raízes diferem por 7, que é um inteiro.
Passo 9
Como as raízes da equação indicial diferem por um inteiro (7), isso impacta o número de soluções que obtemos.
Primeiro, usamos a maior raiz
. Com essa raiz, podemos obter duas soluções lineares independentes. Portanto, ao usar
, conseguimos duas soluções.
Passo 10
Agora, usando a menor raiz
. Devido à diferença inteira, ao usar
, geralmente obtemos apenas uma solução sem a necessidade de uma solução adicional envolvendo logaritmos. Assim, ao utilizar
, obtemos uma única solução.
Resposta
As raízes da equação indicial diferem por um inteiro (7). Usando a maior raiz
, obtemos duas soluções. Usando a menor raiz
, obtemos uma única solução.
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