Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados, pelo plano y + z = 2
e pelo cilindro x = 4 - y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (onde x, y e z são positivos) e que é limitado pelos planos coordenados, pelo plano e pelo cilindro . Para isso, vamos usar cálculos de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que nos ajudam a encontrar volumes de regiões no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que queremos calcular. No primeiro octante, , e são todos maiores ou iguais a zero. O cilindro define uma superfície parabólica que abre para o lado negativo do eixo . O plano corta essa região e vai determinar o limite superior para .

Passo 3

Para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla. Precisamos definir os limites de integração para , e . Observando o cilindro , sabemos que vai variar de 0 a 2, porque quando , . Para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 até . Finalmente, para cada ponto , varia de 0 até , que vem do plano .

Passo 4

Agora, escrevemos a integral tripla:
Vamos começar integrando em relação a . A integral de de 0 a é simplesmente .

Passo 5

Agora, a integral fica:
Integrando em relação a , temos:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Somando todos os resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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