Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo. y = x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 + 16 x - 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a curva da função é côncava para cima ou para baixo. Isso faz parte do estudo de concavidade das funções na matemática, que nos ajuda a entender como a curva se comporta.

Passo 2

Primeiro, para analisar a concavidade, precisamos encontrar a segunda derivada da função. Mas, antes disso, vamos calcular a primeira derivada . A primeira derivada nos dá a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto.
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da curva.
Derivando em relação a :

Passo 4

Para encontrar onde a concavidade muda, ou seja, onde a curva passa de côncava para convexa ou vice-versa, precisamos encontrar os valores de que fazem .
Resolvendo a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Fatorando a equação:
Então, as soluções são:

Passo 5

Com os pontos críticos e , vamos analisar o sinal de em cada intervalo determinado por esses pontos para saber se a concavidade é para cima ou para baixo.
  1. Intervalo :
    Escolha um valor, por exemplo, :
    Como , a concavidade é para cima.
  2. Intervalo :
    Escolha um valor, por exemplo, :
    Como , a concavidade é para baixo.
  3. Intervalo :
    Escolha um valor, por exemplo, :
    Como , a concavidade é para cima.

Resposta

A curva da função é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo no intervalo .

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(a) f(x) = x^2
(b) f(x) = -x^2
© f(x) = x^3
(d) f(x) = e^x - x
(e) f(x) = e^x - x^3
(f) f(x) = 2x - 5x^(3/4)
(g) f(x) = 2 x + 1