Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a curva da função
é côncava para cima ou para baixo. Isso faz parte do estudo de concavidade das funções na matemática, que nos ajuda a entender como a curva se comporta.
Passo 2
Primeiro, para analisar a concavidade, precisamos encontrar a segunda derivada da função. Mas, antes disso, vamos calcular a primeira derivada
. A primeira derivada nos dá a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto.
Derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da curva.
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Para encontrar onde a concavidade muda, ou seja, onde a curva passa de côncava para convexa ou vice-versa, precisamos encontrar os valores de
que fazem
.
Resolvendo a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Fatorando a equação:
Então, as soluções são:
Passo 5
Com os pontos críticos
e
, vamos analisar o sinal de
em cada intervalo determinado por esses pontos para saber se a concavidade é para cima ou para baixo.
-
Intervalo
:
Escolha um valor, por exemplo,: Como, a concavidade é para cima. -
Intervalo
:
Escolha um valor, por exemplo,: Como, a concavidade é para baixo. -
Intervalo
:
Escolha um valor, por exemplo,: Como, a concavidade é para cima.
Resposta
A curva da função
é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo no intervalo
.
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.
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no ponto
.
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)