Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à parábola no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à parábola no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente. Também vamos usar a ideia de que a reta normal é perpendicular à reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função .
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que, se duas retas são perpendiculares, os seus coeficientes angulares são negativos reciprocais. Assim, se a inclinação da reta tangente é , a inclinação da reta normal será:

Passo 6

Agora, usando a inclinação da reta normal e o mesmo ponto , aplicamos novamente a fórmula ponto-inclinação:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente à parábola no ponto é e a reta normal é .

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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
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