Encontre o volume do sólido limitado pelo parabolóide z = 4 - 4(x^2 + y^2) e pela superfície z = (x^2 + y^2)^2 - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está entre duas superfícies: um parabolóide e outra superfície dada por uma equação mais complexa. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso com .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas superfícies que delimitam o sólido:
  1. Parabolóide:
  2. Superfície:
Vamos reescrever essas equações em coordenadas cilíndricas, onde , e . Assim, as equações ficam:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar onde essas duas superfícies se encontram, ou seja, onde . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de que delimitam a região de integração.
Rearranjando os termos:
Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja , então a equação vira:
Resolvendo essa equação quadrática:
As soluções são e . Como não pode ser negativo, temos , ou seja, .

Passo 4

Com isso, sabemos que o raio varia de 0 a . Agora, vamos configurar a integral para encontrar o volume. O volume será a diferença entre as duas superfícies integradas sobre essa região.
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, a parte da variável :
Multiplicando os termos:
Integrando termo a termo:
Substituindo :
Convertendo tudo para denominador 6:
Como volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto:
Agora, multiplicamos pela integral em :

Resposta

O volume do sólido limitado pelas superfícies dadas é unidades cúbicas.

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