Encontre o volume do sólido limitado pelo parabolóide
e pela superfície
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está entre duas superfícies: um parabolóide e outra superfície dada por uma equação mais complexa. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso com
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas superfícies que delimitam o sólido:
- Parabolóide:
- Superfície:
Vamos reescrever essas equações em coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Assim, as equações ficam:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar onde essas duas superfícies se encontram, ou seja, onde
. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
que delimitam a região de integração.
Rearranjando os termos:
Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja
, então a equação vira:
Resolvendo essa equação quadrática:
As soluções são
e
. Como
não pode ser negativo, temos
, ou seja,
.
Passo 4
Com isso, sabemos que o raio
varia de 0 a
. Agora, vamos configurar a integral para encontrar o volume. O volume
será a diferença entre as duas superfícies integradas sobre essa região.
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, a parte da variável
:
Multiplicando os termos:
Integrando termo a termo:
Substituindo
:
Convertendo tudo para denominador 6:
Como volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto:
Agora, multiplicamos pela integral em
:
Resposta
O volume do sólido limitado pelas superfícies dadas é
unidades cúbicas.