Determine
em que
e
é a parte do cilindro
que está entre o paraboloide
e o plano
, com todos os vetores normais apontando para o exterior da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de superfície
onde
é dado e
é parte de um cilindro entre um paraboloide e o plano
. Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar essa integração, já que o campo vetorial e a superfície estão bem definidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume da divergência de
dentro do volume
limitado por
:
Passo 3
Então, para aplicar o teorema, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Vamos calcular cada derivada:
-
: A componente . Derivando em relação a , obtemos . -
: A componente . Derivando em relação a , obtemos . -
: A componente . Derivando em relação a , obtemos .
Então,
Passo 4
Agora, precisamos definir o volume
sobre o qual vamos integrar.
é limitado pelo cilindro
, pelo paraboloide
e pelo plano
. É conveniente usar coordenadas cilíndricas para essa integração, já que a geometria é circular.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E
.
Passo 5
Vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 a 2 (já que implica ). -
varia de 0 a para cobrir todo o círculo. -
varia de 0 até (limitado pelo paraboloide).
A integral de volume fica então:
Passo 6
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a integral se torna:
Multiplicando
:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
:
Calculando em
:
Passo 9
Agora, a integral fica:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
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a
e
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e
(escreva usando função vetorial
);
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e inferiormente pelo cone
, usando coordenadas esféricas,
Considere o campo vetorial
O campo
é conservativo? Em caso afirmativo, encontre sua função potencial
;
Considere o campo vetorial
Calcule
e
;