Determine
em que e é a parte do cilindro que está entre o paraboloide e o plano , com todos os vetores normais apontando para o exterior da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de superfície
onde é dado e é parte de um cilindro entre um paraboloide e o plano . Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar essa integração, já que o campo vetorial e a superfície estão bem definidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de dentro do volume limitado por :

Passo 3

Então, para aplicar o teorema, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Vamos calcular cada derivada:
  • : A componente . Derivando em relação a , obtemos .
  • : A componente . Derivando em relação a , obtemos .
  • : A componente . Derivando em relação a , obtemos .
Então,

Passo 4

Agora, precisamos definir o volume sobre o qual vamos integrar. é limitado pelo cilindro , pelo paraboloide e pelo plano . É conveniente usar coordenadas cilíndricas para essa integração, já que a geometria é circular.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E .

Passo 5

Vamos estabelecer os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (já que implica ).
  • varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
  • varia de 0 até (limitado pelo paraboloide).
A integral de volume fica então:

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, a integral se torna:
Multiplicando :

Passo 8

Vamos integrar em relação a :
Calculando em :

Passo 9

Agora, a integral fica:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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