Determine
integral duplaS F cdot d S
em que F(x, y)=(cos (2 z^3)+3 x y+4,-32 y^2-x^2, z^2+z+x y^3-e^y^3-1+ln (y^2+1)) e S é a parte do cilindro x^2+y^2=4 que está entre o paraboloide z=3-x^2-y^2 e o plano z=0, com todos os vetores normais apontando para o exterior da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de superfície
integral duplaS F cdot dS
onde é dado e é parte de um cilindro entre um paraboloide e o plano . Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar essa integração, já que o campo vetorial e a superfície estão bem definidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de dentro do volume limitado por :

Passo 3

Então, para aplicar o teorema, vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = 3y - 3y + 2z + 1 = 2z + 1 é dada por:
Vamos calcular cada derivada:
  • : A componente . Derivando em relação a , obtemos .
  • : A componente . Derivando em relação a , obtemos .
  • : A componente . Derivando em relação a , obtemos .
Então,

Passo 4

Agora, precisamos definir o volume sobre o qual vamos integrar. é limitado pelo cilindro , pelo paraboloide e pelo plano . É conveniente usar coordenadas cilíndricas para essa integração, já que a geometria é circular.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E .

Passo 5

Vamos estabelecer os limites de integração:
  • integral triplaV (2z + 1) , r , dz , dr , dtheta varia de 0 a 2 (já que implica ).
  • varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
  • varia de 0 até (limitado pelo paraboloide).
A integral de volume fica então:

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^3 - r^2 (2z + 1) , dz = [ z^2 + z ]0^3 - r^2 = (3 - r^2)^2 + (3 - r^2) :
(9 - 6r^2 + r^4) + 3 - r^2 = 12 - 7r^2 + r^4
Simplificando:

Passo 7

Agora, a integral se torna:
integral0^2pi integral0^2 (12 - 7r^2 + r^4) , r , dr , dtheta
Multiplicando integral0^2pi integral0^2 (12r - 7r^3 + r^5) , dr , dtheta :

Passo 8

Vamos integrar em relação a integral0^2 (12r - 7r^3 + r^5) , dr = [ 6r^2 - 74r^4 + 16r^6 ]0^2 :
6(4) - 74(16) + 16(64) = 24 - 28 + 646 = -4 + 323 = 203
Calculando em :

Passo 9

Agora, a integral fica:
integral0^2pi 203 , dtheta = 203 times 2pi = 40pi3

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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