Considere as curvas é o segmento de reta de a e é o círculo de centro na origem e raio 2 que está no segundo quadrante. Parametrize e (escreva usando função vetorial );

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente parametrizar duas curvas: , que é o segmento de reta do ponto até , e , que é uma parte do círculo de raio 2 centrado na origem, mas só no segundo quadrante. Vamos precisar usar funções vetoriais para representar essas curvas. Pronto para mergulhar nessa?

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar , o segmento de reta. Como esse segmento vai de até , a coordenada x sempre será 0 e a coordenada y vai variar de 0 a 2. A parametrização vetorial fica bem simples:
Aqui, representa o valor de y que varia de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos para , a parte do círculo no segundo quadrante. Um círculo de raio 2 centrado na origem pode ser parametrizado por:
Mas como precisamos apenas do segundo quadrante, onde x é negativo e y é positivo, os ângulos correspondentes vão de a . Portanto, ajustamos os limites de :

Resposta

As parametrizações das curvas são:

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Esboce a região de integração e monte a integral trocando a ordem de integral (não precisa calcular, somente montar)
Determine
em que e é a parte do cilindro que está entre o paraboloide e o plano , com todos os vetores normais apontando para o exterior da superfície.
Considere o campo vetorial
O campo é conservativo? Em caso afirmativo, encontre sua função potencial ;