Encontre o domínio de definição da função f(x)=sumn=1^+infty 3^n x^n+12^n^2-1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função , que é uma série infinita. O domínio de definição dessa função corresponde aos valores de para os quais essa série converge, ou seja, para os quais a soma infinita dá um valor finito.

Passo 2

Para descobrir para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries do tipo calculando o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Primeiro, identificamos o termo geral da nossa série:
an = 3^n x^n+12^n^2-1
Agora, vamos calcular an+1an = 3^n+1 x^(n+1)+12^(n+1)^2-1 times 2^n^2-13^n x^n+1 :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
an+1an = 3^n+13^n times x^n+2x^n+1 times 2^n^2-12^n^2+2n+1-1
Simplificando cada parte:
= 3 times x times 2^n^2-12^n^2+2n = 3x times 12^2n = 3x4^n

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Razão calculando o limite:
L = limn to infty | 3x4^n | = |3x| times limn to infty ( 14 )^n = 0
Como , temos que .

Resposta

Como x in R , a série converge para todos os números reais. Portanto, o domínio de definição da função é:

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