Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por: , em torno do eixo .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo . As curvas que delimitam essa região são e . Vamos usar conceitos de **Cálculo Integral** para resolver isso, especificamente o método dos discos ou anéis, que ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Para começar, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .
Passo 3
Expandindo a equação:
Simplificando:
Levamos tudo para um lado da equação:
Fatorando:
Então, ou .
Passo 4
Agora que temos os valores de onde as curvas se intersectam ( e ), vamos encontrar os correspondentes valores de usando a equação :
- Para :
- Para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 5
Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra nesse intervalo de . Vamos escolher um valor de entre 0 e 3, por exemplo, :
- Usando :
- Usando :
Então, para , está à direita de . Isso significa que a curva está à direita da curva nesse intervalo de .
Passo 6
Para calcular o volume quando giramos essa região ao redor do eixo , vamos usar o **método dos anéis** (ou método dos discos), que considera a diferença entre os raios externos e internos em cada "anel".
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
- é o raio externo (a distância do eixo de rotação até a curva externa).
- é o raio interno (a distância do eixo de rotação até a curva interna).
- e são os limites de integração (valores de ).
Passo 7
Identificando e :
- A curva externa é , então .
- A curva interna é , então .
Os limites de integração são de a .
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na fórmula do volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 9
Primeiro, vamos expandir as expressões dentro da integral:
Expandindo isso:
E para :
Passo 10
Subtraindo as duas expressões:
Então, a integral fica:
Passo 11
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral resolvida é:
Passo 12
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
Simplificando cada termo:
Para :
Para :
Passo 13
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.
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