Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y do conjunto dos pares (
) tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o volume de um sólido que surge quando a região formada pelos pares
que satisfazem
é girada em torno do eixo
. Então, estamos trabalhando com cálculo de volume de sólidos de revolução, usando métodos de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e escolher a melhor técnica, que nesse caso será o método dos discos ou cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Precisamos encontrar os valores de
que satisfazem
. Vamos resolver a desigualdade
:
-
implica . As raízes são , e . Analisando os intervalos, vemos que para . -
implica . As raízes são e . Isso é verdadeiro para .
A interseção das duas condições é
. Então, a região que vamos girar em torno do eixo
está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos escolher o método adequado para calcular o volume. Como estamos girando em torno do eixo
e temos expressões para
em termos de
, o método das cascas cilíndricas é mais apropriado.
A fórmula do método das cascas cilíndricas quando giramos em torno do eixo
é:
onde:
-
é a distância do elemento à rotação (eixo ), -
é a altura da casca cilíndrica, -
são os limites de integração.
Passo 4
Vamos identificar
, que é a diferença entre as funções superiores e inferiores na região que estamos girando. Na nossa região,
.
Então, a integral para o volume fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5 .
A região limitada pela curva com equação vetorial
A região limitada pela curva com equação vetorial
Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5 .
A região limitada pelo hipocicloide com equação vetorial
A região limitada pelo hipocicloide com equação vetorial
Se
e
então
pode ser escrito como:
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Sendo
então a expressão
é equivalente a:
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.