Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y do conjunto dos pares ( x, y ) tais que x^3 <= x < x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o volume de um sólido que surge quando a região formada pelos pares que satisfazem é girada em torno do eixo . Então, estamos trabalhando com cálculo de volume de sólidos de revolução, usando métodos de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e escolher a melhor técnica, que nesse caso será o método dos discos ou cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Precisamos encontrar os valores de que satisfazem . Vamos resolver a desigualdade :
  1. implica . As raízes são , e . Analisando os intervalos, vemos que para .
  2. implica . As raízes são e . Isso é verdadeiro para .
A interseção das duas condições é . Então, a região que vamos girar em torno do eixo está entre e .

Passo 3

Agora, vamos escolher o método adequado para calcular o volume. Como estamos girando em torno do eixo e temos expressões para em termos de , o método das cascas cilíndricas é mais apropriado.
A fórmula do método das cascas cilíndricas quando giramos em torno do eixo é:
onde:
  • é a distância do elemento à rotação (eixo ),
  • é a altura da casca cilíndrica,
  • são os limites de integração.

Passo 4

Vamos identificar , que é a diferença entre as funções superiores e inferiores na região que estamos girando. Na nossa região, .
Então, a integral para o volume fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Simplificando:
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Se y = 3 z^2 + 18 z + 27 e z = (x^2 + 25) / (x - 2) - 3 então y pode ser escrito como:
Escolha uma opção:
a. ((x^2 + 25)^2) / ((x - 2)^2)
b. 3*(x^2 + 25)^2 / (x - 5)^2
c. 3*(x^2 + 5)^2 / (x - 2)^2
d. 4 * (x^2 - 25)^2 / (x - 2)^2
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Escolha uma opção:
a. (n-2)^35
b. (n+2)^70
c. (n+2)^35
d. (n-2)^(70)
e. n^70