Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5 .
A região limitada pela curva com equação vetorial
A região limitada pela curva com equação vetorial
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pela equação vetorial , onde
varia de
a
. Nosso objetivo é determinar a área da região limitada por essa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para calcular a área delimitada por uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área
delimitada por uma curva paramétrica
no intervalo
pode ser calculada pela seguinte fórmula:
Essa fórmula nos permite calcular a área utilizando as funções paramétricas da curva.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, identificamos as funções
e
:
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos fatorar o :
Sabemos que , então substituindo:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Para resolver a integral, vamos integrar termo a termo. Lembramos que:
Aplicando esses resultados na integral:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração
e
:
Como e , simplificando:
Resposta
A área da região limitada pela curva é
unidades de área.
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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde
consiste no círculo
de
a
e nos segmentos de reta de
a
e de
a
Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y do conjunto dos pares (
) tais que
Se
e
então
pode ser escrito como:
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.