Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5 .
A região limitada pela curva com equação vetorial r(t) = cos(t) i + sen^3(t) j, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pela equação vetorial , onde varia de a . Nosso objetivo é determinar a área da região limitada por essa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para calcular a área delimitada por uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área delimitada por uma curva paramétrica no intervalo pode ser calculada pela seguinte fórmula:
Essa fórmula nos permite calcular a área utilizando as funções paramétricas da curva.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, identificamos as funções e :
Agora, precisamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas expressões na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos fatorar o :
Sabemos que , então substituindo:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Para resolver a integral, vamos integrar termo a termo. Lembramos que:
Aplicando esses resultados na integral:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração e :
Como e , simplificando:

Resposta

A área da região limitada pela curva é unidades de área.

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