Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5 .
A região limitada pelo hipocicloide com equação vetorial
A região limitada pelo hipocicloide com equação vetorial
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a área da região delimitada pelo hipocicloide dado pela equação vetorial , onde
. Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula de cálculo de área para curvas parametrizadas.
Passo 2
A fórmula para a área
de uma curva parametrizada por
e
é:
Aqui,
e . Vamos precisar calcular as derivadas dessas funções em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula da área:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Fatorando o 3 e :
Sabemos que , então:
Passo 6
Utilizando a identidade trigonométrica :
Passo 7
Para integrar , usamos a identidade :
Calculando as integrais:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 8
Substituindo o resultado na expressão para
:
Resposta
A área da região limitada pelo hipocicloide é
unidades de área.