Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5 .
A região limitada pelo hipocicloide com equação vetorial r(t) = cos^3(t) i + sen^3(t) j, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a área da região delimitada pelo hipocicloide dado pela equação vetorial , onde . Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula de cálculo de área para curvas parametrizadas.

Passo 2

A fórmula para a área de uma curva parametrizada por e é:
Aqui, e . Vamos precisar calcular as derivadas dessas funções em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula da área:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 5

Fatorando o 3 e :
Sabemos que , então:

Passo 6

Utilizando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Para integrar , usamos a identidade :
Calculando as integrais:
Aplicando os limites de a :

Passo 8

Substituindo o resultado na expressão para :

Resposta

A área da região limitada pelo hipocicloide é unidades de área.

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