A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a equação x = A t^2 - B t^3, onde x está em metros e t em segundos. © Qual o comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos? A partir de agora, admita que os valores numéricos, em unidades SI, são 3,0 e 1,0 , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula ao longo do eixo em função do tempo pela equação . A gente precisa descobrir qual foi a distância total que a partícula percorreu nos primeiros 4 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a ideia de trajetória total percorrida, que envolve calcular a integral da velocidade ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de e . Segundo o enunciado, e . Então, nossa equação de posição fica:

Passo 3

Para encontrar a distância total percorrida, precisamos calcular a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar :

Passo 4

Agora, para achar o comprimento total da trajetória, precisamos integrar o valor absoluto da velocidade de até segundos. Mas antes, vamos verificar se a velocidade muda de sinal nesse intervalo, ou seja, se a partícula muda de direção.
Resolva :
Isso significa que a partícula muda de direção aos 2 segundos.

Passo 5

Então, dividimos a integração em dois intervalos: de 0 a 2 segundos e de 2 a 4 segundos.
Primeiro, calculemos a posição nos 2 segundos:
Depois, nos 4 segundos:
A distância total é a soma dos trajetos nos dois intervalos:
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Resposta

O comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos é 24,0 metros.

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