A posição de uma partícula ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a equação
, onde
está em metros
segundos. © Qual o comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos? A partir de agora, admita que os valores numéricos, em unidades SI, são 3,0 e 1,0 , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula ao longo do eixo
em função do tempo
pela equação
. A gente precisa descobrir qual foi a distância total que a partícula percorreu nos primeiros 4 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a ideia de trajetória total percorrida, que envolve calcular a integral da velocidade ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
e
. Segundo o enunciado,
e
. Então, nossa equação de posição fica:
Passo 3
Para encontrar a distância total percorrida, precisamos calcular a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar
:
Passo 4
Agora, para achar o comprimento total da trajetória, precisamos integrar o valor absoluto da velocidade de
até
segundos. Mas antes, vamos verificar se a velocidade muda de sinal nesse intervalo, ou seja, se a partícula muda de direção.
Resolva
:
Isso significa que a partícula muda de direção aos 2 segundos.
Passo 5
Então, dividimos a integração em dois intervalos: de 0 a 2 segundos e de 2 a 4 segundos.
Primeiro, calculemos a posição nos 2 segundos:
Depois, nos 4 segundos:
A distância total é a soma dos trajetos nos dois intervalos:
Resposta
O comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos é 24,0 metros.
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Em Teoria da Probabilidade e Estatística uma função
para variáveis aleatórias contínuas é chamada de função densidade de probabilidade se satisfazer as seguintes condições
(a)
(b)
em que os limites de integraçio correspondem ao domínio assumido peln funçĩo .
Mostre que a função a seguir é uma funçâo densidade de probabilidade.
(a)
(b)
em que os limites de integraçio correspondem ao domínio assumido peln funçĩo
Mostre que a função a seguir é uma funçâo densidade de probabilidade.
em que
e
sióo constantes c
. Calcule
.
Outras quantidades importantes e de interesse são dadas, respectivamente, pela Esperança, e Variância,
de una variável aleatóriı. A esperanga e a variância podem ser definidas da seguinte forma
(a)
(b)
Desta forma, calcule a esperança e a varianncia da funçũo dada acima. Ou seja, para a Esperança do item (a) calcule e para a Variància calcule
e utilize a fórmula do
Outras quantidades importantes e de interesse são dadas, respectivamente, pela Esperança,
(a)
(b)
Desta forma, calcule a esperança e a varianncia da funçũo dada acima. Ou seja, para a Esperança do item (a) calcule
Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos
a regiào limitada pelo gráfico de
e o eixo dos
.
Esboce a regiâo do plano limitada pelas funģ̄es
e
. Calcule a área correspondente tal que
A posição de uma partícula ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a equação
, onde
está em metros
segundos. (f) Qual é a aceleração da partícula ao final de cada um dos 4 primeiros segundos? A partir de agora, admita que os valores numéricos, em unidades SI, são 3,0 e 1,0 , respectivamente.