Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região delimitada simultaneamente por x = 2 y^2 e x = 3 - y^2 em torno da reta x = 5.

Passo 1

Beleza, então a gente vai calcular o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região delimitada por duas curvas em torno de uma reta. Aqui, as curvas são e , e a rotação é feita em torno da reta . Vamos usar o método dos anéis (ou discos) para resolver isso. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as curvas se interceptam e depois integrar para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Basta igualar as duas equações:
Resolvendo para :
Então, as curvas se interceptam quando e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar as curvas para saber qual delas está mais à esquerda ou direita. Para um valor de no intervalo :
  • é sempre positivo e aumenta com .
  • diminui conforme aumenta.
Isso significa que está à esquerda de nesse intervalo.

Passo 4

Vamos usar o método dos anéis, que envolve calcular a diferença entre as áreas dos discos externos e internos girados em torno da reta .
A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde:
  • é a distância da reta de rotação até a curva externa ( ).
  • é a distância da reta de rotação até a curva interna ( ).

Passo 5

Calculando as distâncias:

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:

Passo 8

A integral fica então:
Como a função é par, podemos simplificar integrando de 0 a 1 e multiplicando por 2:

Passo 9

Calculando a integral:
Somando tudo:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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