Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região delimitada simultaneamente por e em torno da reta .
Passo 1
Beleza, então a gente vai calcular o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região delimitada por duas curvas em torno de uma reta. Aqui, as curvas são e , e a rotação é feita em torno da reta . Vamos usar o método dos anéis (ou discos) para resolver isso. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as curvas se interceptam e depois integrar para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Basta igualar as duas equações:
Resolvendo para :
Então, as curvas se interceptam quando e .
Passo 3
Agora, vamos visualizar as curvas para saber qual delas está mais à esquerda ou direita. Para um valor de no intervalo :
é sempre positivo e aumenta com .
diminui conforme aumenta.
Isso significa que está à esquerda de nesse intervalo.
Passo 4
Vamos usar o método dos anéis, que envolve calcular a diferença entre as áreas dos discos externos e internos girados em torno da reta .
A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde:
é a distância da reta de rotação até a curva externa ().
é a distância da reta de rotação até a curva interna ().
Passo 5
Calculando as distâncias:
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:
Passo 8
A integral fica então:
Como a função é par, podemos simplificar integrando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
Passo 9
Calculando a integral:
Somando tudo:
Resposta
O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.