Use os casos de fatoração mais adequados e fatore os polinômios a seguir. 32 x^7 + 16 x^5 + 8 x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para fatorar o polinômio . Isso está relacionado ao conteúdo de fatoração de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar identificar o maior fator comum entre os termos e depois verificar se conseguimos fatorar mais o que restar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o máximo fator comum (MFC) dos coeficientes e das potências de . Olhando para os coeficientes 32, 16 e 8, o maior número que divide todos esses é o 8. Agora, para as potências de , temos , e . O menor expoente aqui é 4, então o maior fator comum de é . Portanto, o MFC é .

Passo 3

Com o MFC identificado, vamos factorar ele de todo o polinômio. Isso significa que vamos dividir cada termo por :
Assim, o polinômio fica:

Passo 4

Agora, vamos verificar se o polinômio dentro do parênteses ( ) pode ser fatorado mais. Para isso, tentamos encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais, que nos diz que possíveis raízes são divisores do termo constante sobre divisores do coeficiente líder.
Testando valores como , , , etc., percebemos que nenhum deles satisfaz . Isso significa que o polinômio não pode ser fatorado mais usando números inteiros ou racionais.

Resposta

Portanto, a fatoração completa do polinômio é:

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