Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
e
.
Passo 1
Então, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo das ordenadas (que é o eixo y). Essa região está limitada pelas curvas das funções
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é muito útil para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. As curvas
e
são linhas horizontais, e
é o eixo y. A curva
é uma reta que intercepta o eixo y em
e sobe com inclinação 1.
Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites da nossa integração. Igualando
a
:
Então, a região vai de
a
e de
a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos cilindros. Esse método envolve integrar ao longo do eixo de rotação (no caso, o eixo y). A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a distância de um ponto da região até o eixo y, e
é a altura do cilindro em cada fatia
.
Passo 4
Na nossa situação,
é a largura da região em cada valor de
. Como
varia de 0 a
(rearranjando
para
), temos:
Então, substituindo na fórmula do volume:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, expandimos
:
Então, a integral se torna:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Com os resultados das integrais, temos:
Agora, vamos calcular isso nos limites de 1 a 2.
Passo 8
Primeiro, avaliamos em
:
Depois, avaliamos em
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use os casos de fatoração mais adequados e fatore os polinômios a seguir.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região delimitada simultaneamente por
e
em torno da reta
.
Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
e
.
Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por
e
gira em torno das retas:
.