Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
y = x + 1, y = 1, y = 2 e x = 0.

Passo 1

Então, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo das ordenadas (que é o eixo y). Essa região está limitada pelas curvas das funções , , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é muito útil para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. As curvas e são linhas horizontais, e é o eixo y. A curva é uma reta que intercepta o eixo y em e sobe com inclinação 1.
Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites da nossa integração. Igualando a :
Então, a região vai de a e de a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos cilindros. Esse método envolve integrar ao longo do eixo de rotação (no caso, o eixo y). A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Aqui, é a distância de um ponto da região até o eixo y, e é a altura do cilindro em cada fatia .

Passo 4

Na nossa situação, é a largura da região em cada valor de . Como varia de 0 a (rearranjando para ), temos:
Então, substituindo na fórmula do volume:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, expandimos :
Então, a integral se torna:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Com os resultados das integrais, temos:
Agora, vamos calcular isso nos limites de 1 a 2.

Passo 8

Primeiro, avaliamos em :
Depois, avaliamos em :

Passo 9

Subtraindo os valores:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Use os casos de fatoração mais adequados e fatore os polinômios a seguir. x^3 - 10 x^2 + x y - 10 y
Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região delimitada simultaneamente por x = 2 y^2 e x = 3 - y^2 em torno da reta x = 5.
Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
y = x^2, y = 0, y = 1 e x = 0.
Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = x^2 e y = raiz(x) gira em torno das retas:
y = -3.