.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha que precisa ser calculada ao longo de uma curva específica. A integral é:
E a curva está definida pelas equações paramétricas:
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha para resolver isso. Precisamos expressar tudo em termos de e depois integrar de até .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções paramétricas em relação a , porque vamos precisar delas para substituir os diferenciais e :
Agora, os diferenciais ficam:

Passo 3

Vamos substituir esses valores na integral original:
Substituindo , , , e :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, somando tudo:

Passo 5

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 6

Agora, avaliamos de a :

Resposta

A integral vale .

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.
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,
Calcule o volume do sólido S limitado pelo parabolóide ) e o plano .
Expresse a integral como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.