integralc z d z+x d y+y d z, C: x=t^2, y=t^3, z=t^3, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha que precisa ser calculada ao longo de uma curva específica. A integral é:
integralC z , dz + x , dy + y , dz
E a curva x = t^2, y = t^3, z = t^3, para 0 <= t <= 1 está definida pelas equações paramétricas:
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha para resolver isso. Precisamos expressar tudo em termos de e depois integrar de até .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções paramétricas em relação a dxdt = 2t, dydt = 3t^2, dzdt = 3t^2 , porque vamos precisar delas para substituir os diferenciais dx = dxdt , dt = 2t , dt e dy = dydt , dt = 3t^2 , dt :
dz = dzdt , dt = 3t^2 , dt
Agora, os diferenciais ficam:

Passo 3

Vamos substituir esses valores na integral original:
integralC z , dz + x , dy + y , dz = integral0^1 ( z cdot dz + x cdot dy + y cdot dz )
Substituindo = integral0^1 ( t^3 cdot 3t^2 + t^2 cdot 3t^2 + t^3 cdot 3t^2 ) dt , , , e :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
t^3 cdot 3t^2 = 3t^5
t^2 cdot 3t^2 = 3t^4
t^3 cdot 3t^2 = 3t^5
Então, somando tudo:
3t^5 + 3t^4 + 3t^5 = 6t^5 + 3t^4

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral0^1 6t^5 + 3t^4 , dt
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 6t^5 , dt + integral0^1 3t^4 , dt
Calculando cada integral:
integral 6t^5 , dt = 6 cdot t^66 = t^6
integral 3t^4 , dt = 3 cdot t^55 = 35 t^5

Passo 6

Agora, avaliamos de [ t^6 + 35 t^5 ]0^1 = (1^6 + 35 cdot 1^5) - (0 + 0) = 1 + 35 = 85 a :

Resposta

A integral vale .

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