.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha que precisa ser calculada ao longo de uma curva específica. A integral é:
E a curva
está definida pelas equações paramétricas:
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha para resolver isso. Precisamos expressar tudo em termos de
e depois integrar de
até
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções paramétricas em relação a
, porque vamos precisar delas para substituir os diferenciais
e
:
Agora, os diferenciais ficam:
Passo 3
Vamos substituir esses valores na integral original:
Substituindo
,
,
,
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, somando tudo:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 6
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
A integral vale
.
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Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
.
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
,
Calcule o volume do sólido S limitado pelo parabolóide
) e o plano
.
Expresse a integral
como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.