Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação é com a condição inicial para . Para resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação em uma forma mais amigável. Dividimos todos os termos por para isolar :
Agora, temos a equação na forma padrão , onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar um fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
O cálculo envolve integrar e então exponenciar o resultado.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação e facilita a integração no próximo passo.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Essa observação nos permite integrar ambos os lados de forma mais simples.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado direito foi resolvida usando integração por partes.

Passo 7

Isolamos dividindo ambos os lados por :
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Com , simplificamos a expressão de .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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,
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.
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