Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação é
com a condição inicial
para
. Para resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação em uma forma mais amigável. Dividimos todos os termos por
para isolar
:
Agora, temos a equação na forma padrão
, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar um fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
O cálculo envolve integrar
e então exponenciar o resultado.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação e facilita a integração no próximo passo.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Essa observação nos permite integrar ambos os lados de forma mais simples.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado direito foi resolvida usando integração por partes.
Passo 7
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Com
, simplificamos a expressão de
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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) e o plano
.