Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
y' + 6y = e^(4t) ; y(0) = 2 Resposta: y(t) = (1/10) e^(4 t) + (19/10) e^(-6 t).

Passo 1

Entendendo o Problema
Estamos diante de uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial:
Conteúdo da Matéria: Vamos utilizar o método das Transformadas de Laplace para resolver este problema de valor inicial.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a Transformada de Laplace de funções básicas.
  • Saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas.
  • Resolver equações algébricas no domínio de .
  • Utilizar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace na Equação Diferencial
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
e
onde é a Transformada de Laplace de .
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Substituindo a Condição Inicial e Isolando
Sabemos que . Substituindo na equação:
Agrupando os termos de :
Isolando :

Passo 4

Realizando a Decomposição em Frações Parciais
Vamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace.
Primeiro, decompomos:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores convenientes para :
  • Para :
  • Para :
Então, a decomposição fica:
Substituindo de volta em :
Simplificando os termos com :

Passo 5

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace para Encontrar
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo de :

Resposta

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