Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resposta:
.
Passo 1
Entendendo o Problema
Estamos diante de uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial:
Conteúdo da Matéria: Vamos utilizar o método das Transformadas de Laplace para resolver este problema de valor inicial.
O que vamos precisar:
- Conhecer a Transformada de Laplace de funções básicas.
- Saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas.
- Resolver equações algébricas no domínio de
. - Utilizar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar a solução no domínio do tempo.
Passo 2
Aplicando a Transformada de Laplace na Equação Diferencial
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
e
onde
é a Transformada de Laplace de
.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Substituindo a Condição Inicial e Isolando
Sabemos que
. Substituindo na equação:
Agrupando os termos de
:
Isolando
:
Passo 4
Realizando a Decomposição em Frações Parciais
Vamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace.
Primeiro, decompomos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores convenientes para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a decomposição fica:
Substituindo de volta em
:
Simplificando os termos com
:
Passo 5
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace para Encontrar
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo de
:
Resposta
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Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Calcule o volume do sólido
. GAB:
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
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Resposta: .
Resposta:
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Resposta: .
Resposta: