As equações
dão a posição
de uma partícula no instante
.
Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo
.
Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a distância que uma partícula percorre entre os instantes de tempo
e
. As posições da partícula são dadas pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco nas equações paramétricas, que nos ajuda a calcular a distância percorrida por uma partícula ao longo de seu caminho.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções
e
em relação ao tempo
. Isso significa que vamos calcular
e
.
A derivada de
em relação a
é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, utilizamos a fórmula do comprimento de arco para equações paramétricas, que é dada por:
Onde:
-
é a distância percorrida, -
e são os limites de integração (no nosso caso, 0 e 5).
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
A integral
pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou tabela de integrais, resultando em:
Aplicando os limites de 0 a 5:
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:
Resposta
A distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo
é aproximadamente 56,26 unidades de distância.
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e
, respectivamente, e cujas seções transversais ao eixo maior são semi-círculos, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tendo para diâmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item anterior).