As equações dão a posição de uma partícula no instante .
Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo .

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a distância que uma partícula percorre entre os instantes de tempo e . As posições da partícula são dadas pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco nas equações paramétricas, que nos ajuda a calcular a distância percorrida por uma partícula ao longo de seu caminho.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções e em relação ao tempo . Isso significa que vamos calcular e .
A derivada de em relação a é:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, utilizamos a fórmula do comprimento de arco para equações paramétricas, que é dada por:
Onde:
  • é a distância percorrida,
  • e são os limites de integração (no nosso caso, 0 e 5).
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
A integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou tabela de integrais, resultando em:
Aplicando os limites de 0 a 5:
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:

Resposta

A distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo é aproximadamente 56,26 unidades de distância.

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