Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eixos medindo 2 cm e 3 cm e cujas seções transversais ao eixo maior são triângulos eqüiláteros, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem. (Observação: A área da elipse de semi-eixos maior e menor e , respectivamente, igual a ).

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício de geometria espacial onde precisamos calcular o volume de um sólido. A base desse sólido é uma elipse com semi-eixos de 2 cm e 3 cm. As seções transversais ao eixo maior (3 cm) são triângulos equiláteros, todos do mesmo lado em relação ao plano da base. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de volume através da integração das áreas das seções transversais ao longo do eixo maior da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma elipse com semi-eixos e é:
Aqui, cm (semi-eixo maior) e cm (semi-eixo menor).

Passo 3

Para encontrar a área da elipse, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a área de cada triângulo equilátero que forma as seções transversais ao longo do eixo maior. A altura de cada triângulo dependerá da posição ao longo do eixo maior.
A largura da elipse em uma posição é dada por:
Essa largura será o lado do triângulo equilátero, pois cada seção transversal é um triângulo com base igual à largura da elipse naquele ponto.

Passo 5

A área de um triângulo equilátero com lado é:
Substituindo :

Passo 6

Para encontrar o volume do sólido, integramos a área das seções transversais ao longo do eixo maior, que vai de cm a cm:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido é centímetros cúbicos.

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